Algorytm Helda-Karpa

Graf, 4 wierzchołki (1) Graf użyty w przykładzie wykonania algorytmu
REKLAMA

#AgileKtóryDziała. Pracuj zwinnie i skutecznie
−30%27,93 zł
Algorytmy
−40%29,40 zł

Algorytm Helda-Karpa (czasami określany jako algorytm Bellmana-Helda-Karpa) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera. Jest to algorytm dokładny oparty na programowaniu dynamicznym. Algorytm ma złożoność czasową O(n22n) i złożoność pamięciową O(n2n). Jest to co prawda złożoność gorsza od wielomianowej, ale algorytm ten jest znacznie lepszy od algorytmu sprawdzającego wszystkie warianty (złożoność czasowa O(n!)).

Działanie algorytmu

Załóżmy, że mamy graf liczący n wierzchołków ponumerowanych 1, 2, …, n. Wierzchołek 1 niech będzie wierzchołkiem początkowym. Jako di,j oznaczmy odległość między wierzchołkami i oraz j (są to dane wejściowe).

Oznaczmy jako D(S, p) optymalną długość ścieżki wychodzącej z punktu 1 i przechodzącej przez wszystkie punkty zbioru S tak, aby zakończyć się w punkcie p (p musi należeć do S). Przykładowo, zapis D({2, 5, 6}, 5) to optymalna długość ścieżki wychodzącej z punktu 1, przechodzącej przez punkty 2 i 6, kończącej się w punkcie 5. Liczbę punktów w zbiorze S oznaczmy jako s.

Wartość D(S, p) wyznaczamy następująco:

  • Jeśli s=1, to D(S, p) = d1,p,
  • Jeśli s>1, to D(S, p) = minx∈(S-{p})( D(S−{p}, x) + dx,p).

Mówiąc obrazowo, musimy za każdym razem ustalać, który punkt powinien być przedostatni na trasie (który punkt ma poprzedzać punkt p).

Na końcu wyznacza się rozwiązanie całego problemu. W tym celu należy znaleźć poprzednika punktu 1 korzystając ze wzoru: minx∈{2, …, n}( D({2, …, n}, x) + dx,1).

Przykład

Dany jest graf zawierający cztery wierzchołki (taki, jak na ilustracji). Odległości między wierzchołkami są następujące:

  • d1,2 = d2,1 = 30
  • d1,3 = d3,1 = 36
  • d1,4 = d4,1 = 40
  • d2,3 = d3,2 = 20
  • d2,4 = d4,2 = 50
  • d3,4 = d4,3 = 67

Na początku wyznaczamy wartości D(S, p) dla jednoelementowych zbiorów S (s=1). Są to przypadki trywialne.

  • D({2}, 2) = d1,2 = 30
  • D({3}, 3) = d1,3 = 36
  • D({4}, 4) = d1,4 = 40

Następnie wyznaczamy wartości D(S, p) dla dwuelementowych zbiorów S (s=2). W nawiasie kwadratowym zapisaliśmy numer przedostatniego węzła na ścieżce (węzła x dla optymalnego rozwiązania podproblemu). W tych przypadkach co prawda wybór jest oczywisty, gdyż zbiór S−{p} jest jednoelementowy, jednak już teraz pilnujmy notacji.

  • D({2, 3}, 2) = min( D({3}, 3) + d3,2 ) = min(36 + 20) = min(56) = 56 [3]
  • D({2, 3}, 3) = min( D({2}, 2) + d2,3 ) = min(30 + 20) = min(50) = 50 [2]
  • D({2, 4}, 2) = min( D({4}, 4) + d4,2 ) = min(40 + 50) = min(90) = 90 [4]
  • D({2, 4}, 4) = min( D({2}, 2) + d2,4 ) = min(30 + 50) = min(80) = 80 [2]
  • D({3, 4}, 3) = min( D({4}, 4) + d4,3 ) = min(40 + 67) = min(80) = 107 [4]
  • D({3, 4}, 4) = min( D({3}, 3) + d3,4 ) = min(36 + 67) = min(80) = 103 [3]

W kolejnych krokach wyznaczamy wartości D(S, p) dla trójelementowych zbiorów S (s=3).

  • D({2, 3, 4}, 2) = min( D({3, 4}, 3) + d3,2, D({3, 4}, 4) + d4,2 ) = min(107 + 20, 103 + 50) = min(127, 153) = 127 [3]
  • D({2, 3, 4}, 3) = min( D({2, 4}, 2) + d2,3, D({2, 4}, 4) + d4,3 ) = min(90 + 20, 80 + 67) = min(110, 147) = 110 [2]
  • D({2, 3, 4}, 4) = min( D({2, 3}, 2) + d2,4, D({2, 3}, 3) + d3,4 ) = min(56 + 50, 50 + 67) = min(106, 117) = 106 [2]

Trójelementowy zbiór S jest dla tego zadania największym z możliwych, gdyż nie licząc wierzchołka początkowego mamy trzy wierzchołki. Możemy więc już teraz wyznaczyć rozwiązanie całego zadania:

  • min( D({2, 3, 4}, 2) + d2,1, D({2, 3, 4}, 3) + d3,1, D({2, 3, 4}, 4) + d4,1,) = min(127 + 30, 110 + 36, 106 + 40) = min(157, 146, 146) = 146 [3]

Znamy już długość optymalnej trasy. Samą trasę możemy odtworzyć wykorzystując indeksy z kwadratowych nawiasów. Trasa to 1–3–2–4–1.

Złożoność obliczeniowa

Obliczmy, ile razy wyznaczana jest wartość D(S, p). Dla s=1 wartość tę wyznacza się n−1 razy. Dla każdego s z przedziału od 2 do n−1 rozważamy wszystkie s-elementowe kombinacje ze zbioru n−1-elementowego, przy czym dla każdej kombinacji rozważamy s wariantów punktu końcowego. Łącznie liczba wyznaczanych wartości D(S, p) wynosi zatem: $$(n-1)+∑↙{s=2}↖{n-1}s{(n-1)!}/{s!(n-1-s)!}$$ Korzystając z własności symbolu Newtona można przekształcić ten wzór do postaci: $$(n-1)2^{n-2}$$ Wartość D(S, p) wyznacza się w czasie liniowym (zakładając, że mamy bezpośredni dostęp do każdej zapamiętanej wartości, co można zapewnić prawidłowym indeksowaniem). Łącznie złożoność czasowa algorytmu wynosi więc O(n22n). Każdą wartość D(S, p) należy zapamiętać, zatem złożoność pamięciowa algorytmu to O(n2n).

Ocena: +4 Tak Nie
Liczba głosów: 8.

Dodano: 7 sierpnia 2017 11:19, ostatnia edycja: 8 listopada 2017 16:03.

REKLAMA

Zobacz też

K-opt, algorytm k-optymalny – algorytm lokalnej optymalizacji wykorzystywany przy rozwiązywaniu problemu komiwojażera. Algorytm ten nie służy do samego wyznaczania trasy, a jedynie do ulepszania jej. Najprostszą wersją tego algorytmu jest algorytm 2-optymalny.

→ Czytaj całość
Algorytm najbliższego sąsiada (ang. nearest neighbour algorithm, w skrócie NN) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera. Jest to algorytm wykorzystujący strategię zachłanną.
→ Czytaj całość

Graf – struktura składająca się ze zbioru wierzchołków oraz zbioru krawędzi. Grafy mają szerokie zastosowanie w informatyce, można za ich pomocą przedstawić wiele zagadnień.

Wyróżniamy grafy nieskierowane oraz grafy skierowane. W grafie nieskierowanym relacja sąsiedztwa jest symetryczna, tzn. krawędź łączy wierzchołki „w obie strony”. W grafie skierowanym krawędzie są „jednokierunkowe”. Krawędź grafu skierowanego zazwyczaj jest określana jako łuk.

Graf ważony (inaczej graf z wagami) to taki graf, w którym każdej krawędzi przypisana jest pewna wartość liczbowa. Wartość ta może oznaczać np. długość krawędzi lub jej przepustowość.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt