Programowanie w języku C. Ćwiczenia praktyczne. Wydanie II
19,90 zł
Badanie UX. Praktyczne techniki projektowania bezkonkurencyjnych produktów
−30%34,30 zł
Algorytmy bez tajemnic
44,90 zł
Czysta architektura. Struktura i design oprogramowania. Przewodnik dla profesjonalistów
67,00 zł
Python. Uczenie maszynowe
69,00 zł
Android Studio. Tworzenie aplikacji mobilnych
69,00 zł

Algorytm Helda-Karpa

Graf, 4 wierzchołki Graf użyty w przykładzie wykonania algorytmu

Algorytm Helda-Karpa (czasami określany jako algorytm Bellmana-Helda-Karpa) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera. Jest to algorytm dokładny oparty na programowaniu dynamicznym. Algorytm ma złożoność czasową O(n22n) i złożoność pamięciową O(n2n). Jest to co prawda złożoność gorsza od wielomianowej, ale algorytm ten jest znacznie lepszy od algorytmu sprawdzającego wszystkie warianty (złożoność czasowa O(n!)).

Działanie algorytmu

Załóżmy, że mamy graf liczący n wierzchołków ponumerowanych 1, 2, …, n. Wierzchołek 1 niech będzie wierzchołkiem początkowym. Jako di,j oznaczmy odległość między wierzchołkami i oraz j (są to dane wejściowe).

Oznaczmy jako D(S, p) optymalną długość ścieżki wychodzącej z punktu 1 i przechodzącej przez wszystkie punkty zbioru S tak, aby zakończyć się w punkcie p (p musi należeć do S). Przykładowo, zapis D({2, 5, 6}, 5) to optymalna długość ścieżki wychodzącej z punktu 1, przechodzącej przez punkty 2 i 6, kończącej się w punkcie 5. Liczbę punktów w zbiorze S oznaczmy jako s.

Wartość D(S, p) wyznaczamy następująco:

  • Jeśli s=1, to D(S, p) = d1,p,
  • Jeśli s>1, to D(S, p) = minx∈(S-{p})( D(S−{p}, x) + dx,p).

Mówiąc obrazowo, musimy za każdym razem ustalać, który punkt powinien być przedostatni na trasie (który punkt ma poprzedzać punkt p).

Na końcu wyznacza się rozwiązanie całego problemu. W tym celu należy znaleźć poprzednika punktu 1 korzystając ze wzoru: minx∈{2, …, n}( D({2, …, n}, x) + dx,1).

Przykład

Dany jest graf zawierający cztery wierzchołki (taki, jak na ilustracji). Odległości między wierzchołkami są następujące:

  • d1,2 = d2,1 = 30
  • d1,3 = d3,1 = 36
  • d1,4 = d4,1 = 40
  • d2,3 = d3,2 = 20
  • d2,4 = d4,2 = 50
  • d3,4 = d4,3 = 67

Na początku wyznaczamy wartości D(S, p) dla jednoelementowych zbiorów S (s=1). Są to przypadki trywialne.

  • D({2}, 2) = d1,2 = 30
  • D({3}, 3) = d1,3 = 36
  • D({4}, 4) = d1,4 = 40

Następnie wyznaczamy wartości D(S, p) dla dwuelementowych zbiorów S (s=2). W nawiasie kwadratowym zapisaliśmy numer przedostatniego węzła na ścieżce (węzła x dla optymalnego rozwiązania podproblemu). W tych przypadkach co prawda wybór jest oczywisty, gdyż zbiór S−{p} jest jednoelementowy, jednak już teraz pilnujmy notacji.

  • D({2, 3}, 2) = min( D({3}, 3) + d3,2 ) = min(36 + 20) = min(56) = 56 [3]
  • D({2, 3}, 3) = min( D({2}, 2) + d2,3 ) = min(30 + 20) = min(50) = 50 [2]
  • D({2, 4}, 2) = min( D({4}, 4) + d4,2 ) = min(40 + 50) = min(90) = 90 [4]
  • D({2, 4}, 4) = min( D({2}, 2) + d2,4 ) = min(30 + 50) = min(80) = 80 [2]
  • D({3, 4}, 3) = min( D({4}, 4) + d4,3 ) = min(40 + 67) = min(80) = 107 [4]
  • D({3, 4}, 4) = min( D({3}, 3) + d3,4 ) = min(36 + 67) = min(80) = 103 [3]

W kolejnych krokach wyznaczamy wartości D(S, p) dla trójelementowych zbiorów S (s=3).

  • D({2, 3, 4}, 2) = min( D({3, 4}, 3) + d3,2, D({3, 4}, 4) + d4,2 ) = min(107 + 20, 103 + 50) = min(127, 153) = 127 [3]
  • D({2, 3, 4}, 3) = min( D({2, 4}, 2) + d2,3, D({2, 4}, 4) + d4,3 ) = min(90 + 20, 80 + 67) = min(110, 147) = 110 [2]
  • D({2, 3, 4}, 4) = min( D({2, 3}, 2) + d2,4, D({2, 3}, 3) + d3,4 ) = min(56 + 50, 50 + 67) = min(106, 117) = 106 [2]

Trójelementowy zbiór S jest dla tego zadania największym z możliwych, gdyż nie licząc wierzchołka początkowego mamy trzy wierzchołki. Możemy więc już teraz wyznaczyć rozwiązanie całego zadania:

  • min( D({2, 3, 4}, 2) + d2,1, D({2, 3, 4}, 3) + d3,1, D({2, 3, 4}, 4) + d4,1,) = min(127 + 30, 110 + 36, 106 + 40) = min(157, 146, 146) = 146 [3]

Znamy już długość optymalnej trasy. Samą trasę możemy odtworzyć wykorzystując indeksy z kwadratowych nawiasów. Trasa to 1–3–2–4–1.

Złożoność obliczeniowa

Obliczmy, ile razy wyznaczana jest wartość D(S, p). Dla s=1 wartość tę wyznacza się n−1 razy. Dla każdego s z przedziału od 2 do n−1 rozważamy wszystkie s-elementowe kombinacje ze zbioru n−1-elementowego, przy czym dla każdej kombinacji rozważamy s wariantów punktu końcowego. Łącznie liczba wyznaczanych wartości D(S, p) wynosi zatem: $$(n-1)+∑↙{s=2}↖{n-1}s{(n-1)!}/{s!(n-1-s)!}$$ Korzystając z własności symbolu Newtona można przekształcić ten wzór do postaci: $$(n-1)2^{n-2}$$ Wartość D(S, p) wyznacza się w czasie liniowym (zakładając, że mamy bezpośredni dostęp do każdej zapamiętanej wartości, co można zapewnić prawidłowym indeksowaniem). Łącznie złożoność czasowa algorytmu wynosi więc O(n22n). Każdą wartość D(S, p) należy zapamiętać, zatem złożoność pamięciowa algorytmu to O(n2n).

Ocena: 0 Tak Nie
Liczba głosów: 0.

Dodano: 7 sierpnia 2017 11:19, ostatnia edycja: 8 listopada 2017 16:03.

Zobacz też

Przeszukiwanie w głąb (ang. depth-first search, w skrócie DFS) – jeden z dwóch podstawowych algorytmów przeszukiwania grafu. Polega na przechodzeniu zawsze do kolejnego nieodwiedzonego wierzchołka. Jeśli dany wierzchołek nie ma nieodwiedzonych sąsiadów, wracamy do poprzedniego wierzchołka i sprawdzamy jego sąsiadów. Mówiąc obrazowo, w algorytmie tym wchodzimy tak głęboko, jak to możliwe (przechodzimy dalej, dopóki się da).

Algorytm można zapisać w sposób rekurencyjny. Wywoływana rekurencyjnie procedura działa następująco: oznacz wierzchołek jako odwiedzony, a następnie wywołaj tę procedurę dla każdego sąsiada danego wierzchołka, jeśli nie został on wcześniej odwiedzony. Na początku wywołujemy procedurę dla wierzchołka początkowego.

→ Czytaj całość

Algorytm Bellmana-Forda – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek w grafie. Wyznacza najkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka (zwanego wierzchołkiem źródłowym) do pozostałych wierzchołków. W odróżnieniu od algorytmu Dijkstry, algorytm Bellmana-Forda dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, nie mogą istnieć jednak ujemne cykle osiągalne z wierzchołka źródłowego. Algorytm może być również wykorzystywany do sprawdzania, czy w grafie występują ujemne cykle.

Algorytm występuje również pod nazwą algorytm Bellmana-Forda-Moore’a.

→ Czytaj całość

Ten artykuł opisuje algorytm zachłanny rozwiązujący problem wydawania reszty. Algorytm ten polega na wybieraniu zawsze największej dostępnej monety, tzn. takiej, która nie jest większa od kwoty pozostałej do wydania.

Algorytm nie zawsze znajduje rozwiązanie optymalne. Przykładowo, dla zbioru nominałów {1, 3, 4} i kwoty 6 algorytm użyje najpierw monety o nominale 4 (pozostaje do wydania kwota 2), potem monety o nominale 1 (pozostaje kwota 1) i jeszcze raz monety o nominale 1. Łącznie algorytm użyje więc trzech monet, podczas gdy rozwiązanie optymalne wymaga użycia tylko dwóch (dwie monety o nominale 3).

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt