Problem komiwojażera
Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, w skrócie TSP) – problem obliczeniowy polegający na poszukiwaniu w grafie takiego cyklu, który zawiera wszystkie wierzchołki (każdy dokładnie raz) i ma jak najmniejszy koszt. Bardziej formalnie, problem komiwojażera polega na poszukiwaniu w grafie cyklu Hammiltona o najmniejszej wadze.
Problem ma liczne zastosowania w życiu codziennym. Najlepszym przykładem jest praca kuriera, który musi wyjechać z magazynu, zawieźć przesyłki w różne miejsca i wrócić do magazynu.
Nie jest znany efektywny (tj. działający w czasie co najwyżej wielomianowym) algorytm dający gwarancję znalezienia optymalnego rozwiązania problemu komiwojażera. Problem ten jest bowiem zaliczany do klasy problemów NP-trudnych. W wersji decyzyjnej (czy istnieje cykl o długości mniejszej od x) problem jest zaliczany do klasy problemów NP-zupełnych. W grafie pełnym mającym n wierzchołków liczba możliwych cykli Hammiltona wynosi aż (n-1)!/2. W praktyce sprawdzenie wszystkich możliwości jest zatem wykonalne tylko dla niewielkiej liczby wierzchołków.
Wybrane algorytmy
Wybrane algorytmy wykorzystywane do rozwiązywania problemu komiwojażera zaprezentowano w poniższej tabeli. Przez algorytm dokładny rozumiemy algorytm gwarantujący znalezienie rozwiązania optymalnego.
| Algorytm | Dokładny | Złożoność czasowa |
|---|---|---|
| Sprawdzenie wszystkich wariantów | Tak | O(n!) |
| Algorytm Helda-Karpa | Tak | O(n22n) |
| Algorytm najbliższego sąsiada | Nie | O(n2) |
| Algorytm najmniejszej krawędzi | Nie | O(n2log n) |
| Algorytm RNN | Nie | O(n3) |
Do rozwiązywania problemu komiwojażera można wykorzystać również algorytm genetyczny (przykład). Rozwiązanie uzyskane za pomocą algorytmów niedokładnych można ulepszać korzystając z metod lokalnej optymalizacji. Przykładem takiej metody jest algorytm 2-optymalny będący najprostszym wariantem algorytmu k-optymalnego.
Problemy pokrewne
Problem komiwojażera ma liczne modyfikacje i problemy pokrewne. Jednym z nich jest problem marszrutyzacji, w którym wierzchołki mają znaleźć się nie w jednym cyklu, a w kliku osobnych.
Liczba głosów: 21.
Dodano: 1 października 2016 13:08, ostatnia edycja: 7 sierpnia 2017 11:23.
Zobacz też
Graf – struktura G = (V, E) składająca się ze skończonego zbioru wierzchołków V oraz skończonego zbioru krawędzi E, gdzie każda krawędź e ∈ E jest dwuelementowym zbiorem wierzchołków u, v ∈ V. Wierzchołki u, v połączone krawędzią e = {u, v} określane są sąsiednimi. Grafy mają szerokie zastosowanie w informatyce, można za ich pomocą przedstawiać rożnego rodzaju relacje pomiędzy obiektami.
Powyższa definicja dotyczy grafu nieskierowanego, gdzie relacja sąsiedztwa jest symetryczna, tzn. krawędź łączy wierzchołki „w obie strony”. W grafie skierowanym krawędzie są „jednokierunkowe”. Krawędź grafu skierowanego zazwyczaj jest określana jako łuk.
Graf ważony (inaczej graf z wagami) to taki graf, w którym każdej krawędzi przypisana jest pewna wartość liczbowa. Wartość ta może oznaczać np. długość krawędzi lub jej przepustowość.
Metoda Forda-Fulkersona – algorytm służący do wyznaczania maksymalnego przepływu. Jest to algorytm bardzo ogólny, dlatego często nie jest nazywany algorytmem, a metodą. Popularną implementacją tej metody jest algorytm Edmondsa-Karpa. Algorytm można opisać następująco:
- Wyznacz sieć residualną (opis sieci residualnej znajduje się w dalszej części artykułu).
- Znajdź w sieci residualnej dowolną ścieżkę powiększającą.
- Jeśli nie udało się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, zakończ działanie algorytmu.
- W przeciwnym razie zwiększ przepływ w sieci (w sposób opisany w dalszej części artukułu) i wróć do punktu 1.
Algorytm heurystyczny, heurystyka – algorytm niedający (w ogólnym przypadku) gwarancji znalezienia rozwiązania optymalnego, umożliwiający jednak znalezienie rozwiązania dość dobrego w rozsądnym czasie. Algorytmy tego typu używane są w takich problemach obliczeniowych, gdzie znalezienie rozwiązania optymalnego ma zbyt dużą złożoność obliczeniową (w szczególności są to problemy NP-trudne) lub w ogóle nie jest możliwe. Metody heurystyczne zaliczają się do sztucznej inteligencji.
Pojęcie algorytmów heurystycznych jest bardzo szerokie, dotyczy ono różnych technik projektowania algorytmów. Wiele heurystyk wykorzystuje losowość, inne zaś są deterministyczne (wówczas dla takich samych danych wejściowych algorytm zawsze zwróci ten sam wynik).
Ogólny algorytm heurystyczny (opisujący samą ideę poszukiwań) bywa określany w literaturze jako metaheurystyka. Zgodnie z tym nazewnictwem, metaheurystyką jest np. algorytm zachłanny (jako ogólna idea), zaś heurystyką jest np. algorytm najbliższego sąsiada (jako zastosowanie idei algorytmu zachłannego do konkretnego problemu).
Przykładowe techniki konstruowania algorytmów heurystycznych to:
- przeszukiwanie lokalne,
- algorytmy zachłanne,
- symulowane wyżarzanie,
- przeszukiwanie tabu,
- algorytmy genetyczne.