Problem komiwojażera
Przykładowy cykl Hammiltona
Rozwiązanie problemu komiwojażera za pomocą algorytmu najbliższego sąsiada
Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, w skrócie TSP) – problem obliczeniowy polegający na poszukiwaniu w grafie takiego cyklu, który zawiera wszystkie wierzchołki (każdy dokładnie raz) i ma jak najmniejszy koszt. Bardziej formalnie, problem komiwojażera polega na poszukiwaniu w grafie cyklu Hammiltona o najmniejszej wadze.
Problem ma liczne zastosowania w życiu codziennym. Najlepszym przykładem jest praca kuriera, który musi wyjechać z magazynu, zawieźć przesyłki w różne miejsca i wrócić do magazynu.
Nie jest znany efektywny (tj. działający w czasie co najwyżej wielomianowym) algorytm dający gwarancję znalezienia optymalnego rozwiązania problemu komiwojażera. Problem ten jest bowiem zaliczany do klasy problemów NP-trudnych. W wersji decyzyjnej (czy istnieje cykl o długości mniejszej od x) problem jest zaliczany do klasy problemów NP-zupełnych. W grafie pełnym mającym n wierzchołków liczba możliwych cykli Hammiltona wynosi aż (n-1)!/2. W praktyce sprawdzenie wszystkich możliwości jest zatem wykonalne tylko dla niewielkiej liczby wierzchołków.
Wybrane algorytmy
Wybrane algorytmy wykorzystywane do rozwiązywania problemu komiwojażera zaprezentowano w poniższej tabeli. Przez algorytm dokładny rozumiemy algorytm gwarantujący znalezienie rozwiązania optymalnego.
| Algorytm | Dokładny | Złożoność czasowa |
|---|---|---|
| Sprawdzenie wszystkich wariantów | Tak | O(n!) |
| Algorytm Helda-Karpa | Tak | O(n22n) |
| Algorytm najbliższego sąsiada | Nie | O(n2) |
| Algorytm najmniejszej krawędzi | Nie | O(n2log n) |
| Algorytm RNN | Nie | O(n3) |
Do rozwiązywania problemu komiwojażera można wykorzystać również algorytm genetyczny (przykład). Rozwiązanie uzyskane za pomocą algorytmów niedokładnych można ulepszać korzystając z metod lokalnej optymalizacji. Przykładem takiej metody jest algorytm 2-optymalny będący najprostszym wariantem algorytmu k-optymalnego.
Problemy pokrewne
Problem komiwojażera ma liczne modyfikacje i problemy pokrewne. Jednym z nich jest problem marszrutyzacji, w którym wierzchołki mają znaleźć się nie w jednym cyklu, a w kliku osobnych.
Liczba głosów: 0.
Dodano: 1 października 2016 13:08, ostatnia edycja: 7 sierpnia 2017 11:23.
Zobacz też
Notacja dużego O – notacja przedstawiająca asymptotyczne tempo wzrostu, wykorzystywana do zapisywania złożoności obliczeniowej algorytmu. Za pomocą tej notacji zapisywany jest rząd wielkości funkcji wyrażającej liczbę operacji dominujących (w przypadku złożoności czasowej) lub rozmiar wymaganej pamięci (w przypadku złożoności pamięciowej) w zależności od liczby danych wejściowych.
Wykorzystując notację dużego O nie podajemy dokładnego wzoru funkcji, a jedynie jej najbardziej znaczący składnik, w dodatku z pominięciem stałego współczynnika. Przykładowo, funkcję postaci f(n)=5n2+20n+100 możemy zapisać jako O(n2). Zakładamy bowiem, że dla dostatecznie dużych n wpływ pomijanych elementów jest znikomy. Choć oczywiście dla małych n może się zdarzyć, że funkcja o gorszej złożoności będzie się wykonywała szybciej.
Weźmy dla przykładu funkcje f(n) = 1000n+2000 i g(n) = n2. Choć pierwsza funkcja ma pozornie bardzo duże stałe współczynniki, to dla n ≥ 1002 będzie ona przyjmowała wartości mniejsze. Im większe n, tym ta różnica będzie wyraźniejsza. Dla n = 10000 (w przypadku danych przetwarzanych komputerowo nie jest to wielka wartość) f(n) = 10002000 (ok. 10 mln), a g(n) = 100000000 (100 mln), czyli blisko 10 razy więcej.
Możliwe jest również wykorzystanie notacji dużego O dla funkcji wielu zmiennych. Wówczas zapis może wyglądać tak: O(v2e). Znajduje to zastosowanie np. dla algorytmów operujących na grafach, gdzie złożoność zależy zarówno od liczby wierzchołków, jak i liczby krawędzi w grafie.
Algorytm – przepis, zbiór poleceń, opis ciągu operacji prowadzących do rozwiązania konkretnego problemu. Algorytm możemy również rozumieć jako funkcję przekształcającą dane wejściowe w dane wyjściowe.
Algorytm musi być skończony, czyli jego zapis ma składać się ze skończonej liczby znaków. Musi również być poprawny, czyli dla wszystkich możliwych danych wejściowych powinien zwracać prawidłowy wynik (może być nim informacja o braku rozwiązania). Algorytm musi wykazywać również własność stopu – niezależnie od danych wejściowych obliczenia algorytmu powinny dochodzić do punktu końcowego, czyli po prostu kończyć się (nie mogą np. wpadać w nieskończoną iterację). Zapis algorytmu musi być precyzyjny, bez jakichkolwiek niejasności.
K-opt, algorytm k-optymalny – algorytm lokalnej optymalizacji wykorzystywany przy rozwiązywaniu problemu komiwojażera. Algorytm ten nie służy do samego wyznaczania trasy, a jedynie do ulepszania jej. Najprostszą wersją tego algorytmu jest algorytm 2-optymalny.