Problem komiwojażera
Przykładowy cykl Hammiltona
Rozwiązanie problemu komiwojażera za pomocą algorytmu najbliższego sąsiada
Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, w skrócie TSP) – problem obliczeniowy polegający na poszukiwaniu w grafie takiego cyklu, który zawiera wszystkie wierzchołki (każdy dokładnie raz) i ma jak najmniejszy koszt. Bardziej formalnie, problem komiwojażera polega na poszukiwaniu w grafie cyklu Hammiltona o najmniejszej wadze.
Problem ma liczne zastosowania w życiu codziennym. Najlepszym przykładem jest praca kuriera, który musi wyjechać z magazynu, zawieźć przesyłki w różne miejsca i wrócić do magazynu.
Nie jest znany efektywny (tj. działający w czasie co najwyżej wielomianowym) algorytm dający gwarancję znalezienia optymalnego rozwiązania problemu komiwojażera. Problem ten jest bowiem zaliczany do klasy problemów NP-trudnych. W wersji decyzyjnej (czy istnieje cykl o długości mniejszej od x) problem jest zaliczany do klasy problemów NP-zupełnych. W grafie pełnym mającym n wierzchołków liczba możliwych cykli Hammiltona wynosi aż (n-1)!/2. W praktyce sprawdzenie wszystkich możliwości jest zatem wykonalne tylko dla niewielkiej liczby wierzchołków.
Wybrane algorytmy
Wybrane algorytmy wykorzystywane do rozwiązywania problemu komiwojażera zaprezentowano w poniższej tabeli. Przez algorytm dokładny rozumiemy algorytm gwarantujący znalezienie rozwiązania optymalnego.
| Algorytm | Dokładny | Złożoność czasowa |
|---|---|---|
| Sprawdzenie wszystkich wariantów | Tak | O(n!) |
| Algorytm Helda-Karpa | Tak | O(n22n) |
| Algorytm najbliższego sąsiada | Nie | O(n2) |
| Algorytm najmniejszej krawędzi | Nie | O(n2log n) |
| Algorytm RNN | Nie | O(n3) |
Do rozwiązywania problemu komiwojażera można wykorzystać również algorytm genetyczny (przykład). Rozwiązanie uzyskane za pomocą algorytmów niedokładnych można ulepszać korzystając z metod lokalnej optymalizacji. Przykładem takiej metody jest algorytm 2-optymalny będący najprostszym wariantem algorytmu k-optymalnego.
Problemy pokrewne
Problem komiwojażera ma liczne modyfikacje i problemy pokrewne. Jednym z nich jest problem marszrutyzacji, w którym wierzchołki mają znaleźć się nie w jednym cyklu, a w kliku osobnych.
Liczba głosów: 0.
Dodano: 1 października 2016 13:08, ostatnia edycja: 7 sierpnia 2017 11:23.
Zobacz też
Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, w skrócie TSP) – problem obliczeniowy polegający na poszukiwaniu w grafie takiego cyklu, który zawiera wszystkie wierzchołki (każdy dokładnie raz) i ma jak najmniejszy koszt. Bardziej formalnie, problem komiwojażera polega na poszukiwaniu w grafie cyklu Hammiltona o najmniejszej wadze.
Problem ma liczne zastosowania w życiu codziennym. Najlepszym przykładem jest praca kuriera, który musi wyjechać z magazynu, zawieźć przesyłki w różne miejsca i wrócić do magazynu.
Nie jest znany efektywny (tj. działający w czasie co najwyżej wielomianowym) algorytm dający gwarancję znalezienia optymalnego rozwiązania problemu komiwojażera. Problem ten jest bowiem zaliczany do klasy problemów NP-trudnych. W wersji decyzyjnej (czy istnieje cykl o długości mniejszej od x) problem jest zaliczany do klasy problemów NP-zupełnych. W grafie pełnym mającym n wierzchołków liczba możliwych cykli Hammiltona wynosi aż (n-1)!/2. W praktyce sprawdzenie wszystkich możliwości jest zatem wykonalne tylko dla niewielkiej liczby wierzchołków.
Algorytm Floyda-Warshalla – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków w grafie. Jest to algorytm oparty na programowaniu dynamicznym. Algorytm ma złożoność czasową O(n3) i złożoność pamięciową O(n2), gdzie n jest liczbą wierzchołków.
Algorytm dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, o ile nie tworzą ujemnych cykli. Algorytm może być również wykorzystywany do wyszukiwania ujemnych cykli w grafie.
Powtarzalny algorytm najbliższego sąsiada (ang. repetitive nearest neighbour algorithm, w skrócie RNN) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera korzystający z algorytmu najbliższego sąsiada.
Algorytm polega na wielokrotnym wykonaniu algorytmu najbliższego sąsiada w taki sposób, aby każdy wierzchołek raz był wierzchołkiem początkowym. Następnie algorytm zwraca najlepsze spośród otrzymanych rozwiązań.
Dla grafu pełnego algorytm ma złożoność O(n3), gdzie n jest liczbą wierzchołków. W trakcie wykonywania algorytmu RNN n razy zostanie wykonany algorytm najbliższego sąsiada, który ma złożoność czasową O(n2).
Algorytm RNN nie daje gwarancji znalezienia rozwiązania optymalnego. W odróżnieniu od algorytmu najbliższego sąsiada daje jednak gwarancję, że zwróci rozwiązanie co najmniej tak dobre, jak n/2-1 innych rozwiązań (dowód i więcej informacji na ten temat znajduje się w pracy podanej w bibliografii).