Algorytm najmniejszej krawędzi

Info
Nazwa tego artykułu jest autorskim tłumaczeniem. Prawdopodobnie nie jest to nazwa oficjalnie używana w polskiej literaturze.
Algorytm najkrótszej krawędzi (1) Przykładowe wykonanie algorytmu
Własność wymiany niespełniona (2) Przykład niespełnionej własności wymiany przy próbie przedstawiania problemu komiwojażera za pomocą matroidu. Nie da się do zbioru 3 dodać elementu zbioru 4 w taki sposób, aby uzyskać inny podzbiór poprawnego rozwiązania
Algorytm najmniejszej krawędzi – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera. Jest to algorytm wykorzystujący strategię zachłanną, jednak w inny sposób, niż algorytm najbliższego sąsiada. W anglojęzycznej literaturze algorytm jest najczęściej określany po prostu jako greedy algorithm (algorytm zachłanny), w skrócie GR.

Działanie algorytmu

Algorytm działa podobnie do algorytmu Kruskala poszukującego minimalnego drzewa rozpinającego. Polega on na kolejnym dołączaniu do rozwiązania najkrótszych spośród dopuszczalnych krawędzi. Działanie algorytmu można zapisać następująco:

  1. Posortuj wszystkie krawędzie rosnąco według ich wag, umieść je w kolejce.
  2. Pobierz z kolejki krawędź o najmniejszej wadze, usuń ją z kolejki.
  3. Sprawdź, czy dołączenie tej krawędzi do rozwiązania nie spowoduje utworzenia cyklu (nie dotyczy ostatniej iteracji) lub powstania wierzchołka, z którego wychodzą trzy krawędzie. Jeśli nie, dołącz krawędź do rozwiązania.
  4. Jeśli liczba krawędzi dołączonych do rozwiązania jest równa liczbie wierzchołków, zakończ działanie algorytmu. W przeciwnym razie przejdź do punktu 2.

Złożoność i ocena jakości

Główna pętla algorytmu wykona się maksymalnie n2 razy (n jest liczbą krawędzi). W trakcie każdego przebiegu pętli trzeba jednak sprawdzić, czy daną krawędź można dołączyć do rozwiązania. Złożoność obliczeniowa algorytmu zależy od sposobu implementacji sprawdzania tego warunku, a także od sposobu sortowania kolejki krawędzi. Według pracy [1] złożoność obliczeniowa algorytmu to O(n2log n).

Algorytm nie daje gwarancji znalezienia rozwiązania optymalnego. Jest on wprawdzie podobny do algorytmu Kruskala, jednak problemu komiwojażera (w odróżnieniu od problemu minimalnego drzewa rozpinającego) nie da się przedstawić za pomocą matroidu. Kontrprzykład został przedstawiony na rysunku (2). Według wspomnianej pracy [1], rozwiązania znalezione przez ten algorytm są średnio o ok. 16% gorsze od optymalnych.

Bibliografia

Ocena: +1 Tak Nie
Liczba głosów: 3.

Dodano: 19 października 2016 19:21, ostatnia edycja: 24 kwietnia 2020 20:01.

REKLAMA

Zobacz też

Dziel i zwyciężaj (ang. divide and conquer) – technika projektowania algorytmów polegająca na podejściu rekurencyjnym. W technice tej problem dzielony jest na mniejsze podproblemy, te podproblemy na jeszcze mniejsze podproblemy, aż dojdzie się do przypadków trywialnych (np. posortowanie jednoelementowej tablicy, obliczenie silni z 1).

Jeśli rozpatrywany problem wymaga podzielenia na podproblemy, jest on określany jako przypadek rekurencyjny. Jeśli mamy do czynienia z przypadkiem trywialnym, jest to przypadek bazowy. Tworząc algorytm wykorzystujący metodę dziel i zwyciężaj musimy ustalić:

  • Jak rozwiązać przypadek bazowy (trywialny).
  • Jak wyznaczyć rozwiązanie problemu, mając dostępne rozwiązania podproblemów.

Przykładem algorytmu opartego na tej metodzie jest sortowanie przez scalanie.

→ Czytaj całość

Matroid – struktura matematyczna składająca się z niepustego zbioru elementów E i takiej rodziny jego podzbiorów I, że spełnione są następujące warunki:

  1. Jeśli jakiś zbiór należy do I, to wszystkie jego podzbiory także należą do I.
  2. Jeśli weźmiemy dowolne dwa zbiory należące do I o różnej liczbie elementów, to jesteśmy w stanie dodać do mniejszego z nich taki element z większego (spośród tych, które nie należą do mniejszego), że utworzony w ten sposób zbiór także będzie należał do I.

Drugi warunek, zwany własnością wymiany, formalnie może być zapisany jako:

$$⋀↙{A,B∊I}↙{ |A|>|B| }⋁↙{t∊(A-B)} B∪\{t\} ∈ I$$

Co istotne, rodzina zbiorów I nie musi zawierać wszystkich możliwych podzbiorów zbioru E. Ważne tylko, aby była spełniona własność wymiany. Przykładowo, dla E={a,b,c,d} prawidłową rodziną I, może być zarówno { {a,b}, {b,c}, {a}, {b}, {c}, ∅}, jak i { {a}, {b}, {c}, {d}, ∅}. Trywialnym przypadkiem poprawnego matroidu jest taki, w którym rodzina I zawiera jedynie zbiór pusty.

→ Czytaj całość

Algorytm genetyczny – jedna z metaheurystyk inspirowanych biologiczną ewolucją.

Pojęcie algorytmu genetycznego nie jest powiązane z żadnym konkretnym problemem obliczeniowym, algorytm ten może być wykorzystywany do rozwiązywania różnych problemów. Algorytm genetyczny nie próbuje rozwiązywać problemu w sposób analityczny, ale próbuje uzyskać jak najlepsze rozwiązania poprzez wybieranie jak najlepszych cech rozwiązań z określonej puli. Implementując algorytm genetyczny należy przedstawić potencjalne rozwiązanie problemu w postaci jakiejś struktury danych, a następnie zdefiniować operacje krzyżowania, mutacji i selekcji. Zakładamy, że z każdym kolejnym pokoleniem rozwiązania występujące w populacji będą coraz lepsze.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt