Graf

Minimalne drzewo rozpinające, przykład (1) Graf prosty (po lewej) i drzewo (po prawej)
Graf, 4 wierzchołki (2) Graf pełny z wagami
Graf skierowany (3) Graf skierowany z wagami

Graf – struktura składająca się ze zbioru wierzchołków oraz zbioru krawędzi. Grafy mają szerokie zastosowanie w informatyce, można za ich pomocą przedstawić wiele zagadnień.

Wyróżniamy grafy nieskierowane oraz grafy skierowane. W grafie nieskierowanym relacja sąsiedztwa jest symetryczna, tzn. krawędź łączy wierzchołki „w obie strony”. W grafie skierowanym krawędzie są „jednokierunkowe”. Krawędź grafu skierowanego zazwyczaj jest określana jako łuk.

Graf ważony (inaczej graf z wagami) to taki graf, w którym każdej krawędzi przypisana jest pewna wartość liczbowa. Wartość ta może oznaczać np. długość krawędzi lub jej przepustowość.

Wybrane pojęcia związane z teorią grafów

  • Trasa – ciąg kolejnych krawędzi, za pomocą którego możemy przejść z jednego wierzchołka grafu do innego (lub wrócić do tego samego).
  • Ścieżka – trasa, w której każda krawędź występuje co najwyżej raz (mogą natomiast powtarzać się wierzchołki).
  • Droga (ścieżka prosta) – trasa, w której każdy wierzchołek występuje co najwyżej raz. Wyjątkiem jest wierzchołek końcowy, który może być wierzchołkiem początkowym – taka ścieżka to cykl.
  • Pętla – krawędź prowadząca z wierzchołka do niego samego.
  • Krawędź wielokrotna – kilka krawędzi łączących tę samą parę wierzchołków.
  • Graf prosty – graf nie zawierający żadnych pętli ani krawędzi wielokrotnych.
  • Graf spójny – graf, w którym można wyznaczyć ścieżkę między każdą parą wierzchołków.
  • Graf pełny – graf prosty, w którym każda para wierzchołków jest bezpośrednio połączona krawędzią.
  • Drzewo – graf spójny nie mający żadnych cykli (taki, w którym między każdą parą wierzchołków można wyznaczyć dokładnie jedną ścieżkę).

Reprezentacja w pamięci komputera

W pamięci komputera grafy zazwyczaj są przechowywane w postaci list lub macierzy sąsiedztwa. W przypadku list sąsiedztwa każdemu wierzchołkowi przyporządkowana jest lista wierzchołków z nim sąsiadujących. W przypadku macierzy sąsiedztwa w pamięci przechowywana jest macierz, w której każdy wiersz i każda kolumna odpowiada innemu wierzchołkowi. Liczba na przecięciu wiersza i kolumny informuje, ile krawędzi łączy daną parę wierzchołków (w przypadku grafu ważonego prostego można tam zamieścić wagę krawędzi). W przypadku grafu nieskierowanego macierz jest symetryczna.

Bibliografia

  • R.J. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012, ISBN 9788301150662.
Ocena: 0 Tak Nie
Liczba głosów: 0.

Dodano: 6 grudnia 2017 10:31, ostatnia edycja: 30 stycznia 2019 15:58.

REKLAMA

Zobacz też

Algorytm Helda-Karpa (czasami określany jako algorytm Bellmana-Helda-Karpa) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera. Jest to algorytm dokładny oparty na programowaniu dynamicznym. Algorytm ma złożoność czasową O(n22n) i złożoność pamięciową O(n2n). Jest to co prawda złożoność gorsza od wielomianowej, ale algorytm ten jest znacznie lepszy od algorytmu sprawdzającego wszystkie warianty (złożoność czasowa O(n!)).

→ Czytaj całość

2-opt, algorytm 2-optymalny – algorytm lokalnej optymalizacji wykorzystywany przy rozwiązywaniu problemu komiwojażera. Jest to szczególny przypadek algorytmu k-optymalnego.

Algorytm 2-opt nie służy do wyznaczania trasy, a jedynie do ulepszania jej. Samą trasę można wyznaczyć np. za pomocą algorytmu najbliższego sąsiada. Algorytm może być wykorzystany do ulepszenia algorytmu genetycznego – w ten sposób powstanie algorytm memetyczny.

→ Czytaj całość

Przeszukiwanie w głąb (ang. depth-first search, w skrócie DFS) – jeden z dwóch podstawowych algorytmów przeszukiwania grafu. Polega na przechodzeniu zawsze do kolejnego nieodwiedzonego wierzchołka. Jeśli dany wierzchołek nie ma nieodwiedzonych sąsiadów, wracamy do poprzedniego wierzchołka i sprawdzamy jego sąsiadów. Mówiąc obrazowo, w algorytmie tym wchodzimy tak głęboko, jak to możliwe (przechodzimy dalej, dopóki się da).

Algorytm można zapisać w sposób rekurencyjny. Wywoływana rekurencyjnie procedura działa następująco: oznacz wierzchołek jako odwiedzony, a następnie wywołaj tę procedurę dla każdego sąsiada danego wierzchołka, jeśli nie został on wcześniej odwiedzony. Na początku wywołujemy procedurę dla wierzchołka początkowego.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt