Algorytm najbliższego sąsiada
Przykładowe wykonanie algorytmu
Przykładowe wykonanie algorytmu dla innego wierzchołka początkowego
Przykład grafu, dla którego algorytm najbliższego sąsiada zwróci najgorsze możliwe rozwiązanie. Jeśli B będzie wierzchołkiem początkowym, to algorytm zwróci cykl B-C-A-D-B o długości 16. Tymczasem pozostałe rozwiązania (B-A-C-D-B i B-C-D-A-B) mają długość 12
Działanie algorytmu
Algorytm rozpoczyna działanie od wybranego wierzchołka (nazwijmy go wierzchołkiem początkowym) i polega na kolejnym przechodzeniu do najbliższego nieodwiedzonego sąsiada ostatnio dodanego wierzchołka. W bardziej formalnym zapisie algorytm działa w następujący sposób:
- Wierzchołek początkowy oznaczamy jako odwiedzony i ustawiamy jako aktualny.
- Znajdujemy najkrótszą spośród krawędzi łączących aktualny wierzchołek z jeszcze nieodwiedzonymi wierzchołkami.
- Dołączamy do rozwiązania krawędź znalezioną w punkcie 2.
- Wierzchołek będący drugim końcem krawędzi znalezionej w punkcie 2 oznaczamy jako odwiedzony i ustawiamy jako aktualny.
- Jeśli są jeszcze nieodwiedzone wierzchołki, przechodzimy do punktu 2.
- Dołączamy krawędź łączącą ostatnio dodany wierzchołek z wierzchołkiem początkowym. Zamykamy w ten sposób cykl.
Złożoność i ocena jakości
Dla grafu pełnego algorytm ma złożoność czasową rzędu kwadratowego. Złożoność pamięciowa algorytmu jest bardzo niewielka (warto pamiętać jedynie, które wierzchołki zostały już odwiedzone).
Dla problemu komiwojażera nie jest znany wydajny (tj. działający w czasie co najwyżej wielomianowym) algorytm dający gwarancję znalezienia rozwiązania optymalnego. Algorytm najbliższego sąsiada również nie daje zatem gwarancji znalezienia najlepszego z możliwych rozwiązań. Według pracy The Traveling Salesman Problem: A Case Study in Local Optimization (link w bibliografii) rozwiązania znalezione przez ten algorytm są średnio o ok. 25% gorsze od optymalnych. Istnieją nawet takie przypadki, w których algorytm najbliższego sąsiada daje najgorsze możliwe rozwiązanie.
Można łatwo zauważyć, że rozwiązania uzyskane za pomocą algorytmu najbliższego sąsiada mogą różnić się od siebie w zależności od wyboru wierzchołka początkowego. Zaprezentowano to na obrazkach znajdujących się po prawej stronie artykułu. W pierwszym przypadku wierzchołkiem początkowym jest ten znajdujący się najbliżej środka, w drugim ten znajdujący się w lewym dolnym rogu.
Algorytm RNN
Modyfikacją algorytmu najbliższego sąsiada jest algorytm funkcjonujący w anglojęzycznej literaturze jako repetitive NN. Polega on na wykonaniu algorytmu najbliższego sąsiada dla każdego wierzchołka początkowego i wybraniu najlepszego z uzyskanych rozwiązań.
Bibliografia
- Z.J. Czech, S. Deorowicz, P. Fabian, Algorytmy i struktury danych. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2010.
- D.S. Johnson, L.A. McGeoch, The Traveling Salesman Problem: A Case Study in Local Optimization (link) [dostęp: 21 listopada 2017].
- G. Gutin, A. Yeo, A. Zverovich, Traveling salesman should not be greedy: domination analysis of greedy-type heuristics for the TSP (link) [dostęp: 21 listopada 2017].
Liczba głosów: 1.
- 2-opt
- Algorytm Helda-Karpa
- Algorytm najbliższego sąsiada
- Algorytm najmniejszej krawędzi
- K-opt
- Powtarzalny algorytm najbliższego sąsiada
Dodano: 26 września 2016 17:25, ostatnia edycja: 21 listopada 2017 19:08.
Zobacz też
Sortowanie przez scalanie – rekurencyjny algorytm sortowania wykorzystujący metodę dziel i zwyciężaj.
Powtarzalny algorytm najbliższego sąsiada (ang. repetitive nearest neighbour algorithm, w skrócie RNN) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera korzystający z algorytmu najbliższego sąsiada.
Algorytm polega na wielokrotnym wykonaniu algorytmu najbliższego sąsiada w taki sposób, aby każdy wierzchołek raz był wierzchołkiem początkowym. Następnie algorytm zwraca najlepsze spośród otrzymanych rozwiązań.
Dla grafu pełnego algorytm ma złożoność O(n3), gdzie n jest liczbą wierzchołków. W trakcie wykonywania algorytmu RNN n razy zostanie wykonany algorytm najbliższego sąsiada, który ma złożoność czasową O(n2).
Algorytm RNN nie daje gwarancji znalezienia rozwiązania optymalnego. W odróżnieniu od algorytmu najbliższego sąsiada daje jednak gwarancję, że zwróci rozwiązanie co najmniej tak dobre, jak n/2-1 innych rozwiązań (dowód i więcej informacji na ten temat znajduje się w pracy podanej w bibliografii).
Algorytmy zachłanne (ang. greedy algorithms) – algorytmy podejmujące w każdym kroku taką decyzję, która w danej chwili wydaje się najkorzystniejsza. Inaczej mówiąc, algorytmy zachłanne dokonują zawsze wyborów lokalnie optymalnych licząc, że doprowadzi to do znalezienia rozwiązania globalnie optymalnego. W ogólnym przypadku algorytmy zachłanne nie zawsze znajdują rozwiązanie optymalne. Są one zatem podzbiorem algorytmów heurystycznych. Jednocześnie są to algorytmy deterministyczne – nie ma w nich losowości.
Bardzo prostym przykładem algorytmu zachłannego może być szukanie najwyższego punktu na określonym obszarze poprzez przesuwanie się zawsze w kierunku największego nachylenia (nigdy się nie cofając ani nie rozpatrując kilku wariantów drogi). Jak widać, w ten sposób prawdopodobnie dojdziemy do wierzchołka położonego najbliżej od punktu początkowego, który niekoniecznie będzie najwyższym.