Algorytmy. Ćwiczenia
34,90 zł
Projektowanie systemów rozproszonych. Wzorce i paradygmaty dla skalowalnych, niezawodnych usług
−30%27,93 zł
PHP 7. Algorytmy i struktury danych
59,00 zł
Java. Kompendium programisty. Wydanie X
179,00 zł
Opus magnum C++11. Programowanie w języku C++ (komplet)
149,00 zł
Uczenie maszynowe z użyciem Scikit-Learn i TensorFlow
89,00 zł

Algorytm Bellmana-Forda

Tutorial
Na ten temat mamy również tutorial „Algorytm Bellmana-Forda”, który ilustruje działanie algorytmu krok po kroku. Zapraszamy do zapoznania się z nim!
REKLAMA

Algorytm Bellmana-Forda – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek w grafie. Wyznacza najkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka (zwanego wierzchołkiem źródłowym) do pozostałych wierzchołków. W odróżnieniu od algorytmu Dijkstry, algorytm Bellmana-Forda dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, nie mogą istnieć jednak ujemne cykle osiągalne z wierzchołka źródłowego. Algorytm może być również wykorzystywany do sprawdzania, czy w grafie występują ujemne cykle.

Algorytm występuje również pod nazwą algorytm Bellmana-Forda-Moore’a.

Opis działania algorytmu

W trakcie wykonywania algorytmu dla każdego wierzchołka zostają wyznaczone dwie wartości: koszt dotarcia do tego wierzchołka (oznaczmy go jako di) oraz poprzedni wierzchołek na ścieżce (oznaczmy go jako pi). Na początku działania algorytmu dla wierzchołka źródłowego koszt dotarcia wynosi 0 (już tam jesteśmy), a dla każdego innego wierzchołka nieskończoność (w ogóle nie wiemy, jak się tam dostać).

Następnie dla każdej krawędzi (oznaczmy, że aktualnie analizowana krawędź ma wagę k i prowadzi z wierzchołka u do wierzchołka v) wykonujemy następującą czynność:

Jeżeli dv > du + k, to ustawiamy wartość dv na du + k, a wartość pv na u.

Całość (przejrzenie wszystkich krawędzi) należy powtórzyć n-1 razy, gdzie n jest liczbą wierzchołków. W każdej iteracji należy przejrzeć wszystkie krawędzie w tej samej kolejności. Jeśli w którejś iteracji nie nastąpią żadne zmiany, wykonywanie algorytmu można przerwać wcześniej.

Wykrywanie ujemnych cykli

Po zakończeniu działania algorytmu, dla każdej krawędzi powinna być spełniona nierówność: dvdu + k (k to waga krawędzi, krawędź prowadzi z wierzchołka u do v). Mówiąc inaczej, kolejna iteracja algorytmu nie powinna spowodować jakichkolwiek zmian. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, to w grafie występuje ujemny cykl osiągalny z wierzchołka źródłowego.

Aby sprawdzić występowanie ujemnych pętli w całym grafie, należy dodać do grafu nowy wierzchołek, połączyć go krawędziami o zerowej wadze ze wszystkimi innymi wierzchołkami, a następnie wykonać algorytm traktując ten nowy wierzchołek jako wierzchołek źródłowy. Można również po prostu wykonać algorytm n razy (za każdym razem dla innego wierzchołka źródłowego), jednak zwiększyłoby to złożoność obliczeniową.

Złożoność czasowa

Dla grafu liczącego n wierzchołków i e krawędzi złożoność pesymistyczna jest równa O(en). Biorąc pod uwagę, że w przypadku braku krawędzi wielokrotnych liczba krawędzi jest zawsze mniejsza od n2, można powiedzieć, że złożoność czasowa algorytmu to O(n3).

Bibliografia

  1. A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012
Ocena: 0 Tak Nie
Liczba głosów: 0.

Dodano: 30 marca 2017 19:25, ostatnia edycja: 12 sierpnia 2017 13:52.

REKLAMA

Zobacz też

Algorytm heurystyczny, heurystyka – algorytm poszukujący najlepszego spośród wielu dostępnych rozwiązań. Algorytmy heurystyczne w ogólnym przypadku nie dają gwarancji znalezienia rozwiązania optymalnego, jednak pozwalają znaleźć rozwiązanie dość dobre w stosunkowo krótkim czasie.

Pojęcie algorytmów heurystycznych jest bardzo szerokie, dotyczy ono różnych technik projektowania algorytmów. Wiele heurystyk wykorzystuje losowość, inne zaś są deterministyczne (wówczas dla takich samych danych wejściowych algorytm zawsze zwróci ten sam wynik).

Ogólny algorytm heurystyczny (opisujący samą ideę poszukiwań) bywa określany w literaturze jako metaheurystyka. Zgodnie z tym nazewnictwem, metaheurystyką jest np. algorytm zachłanny (jako ogólna idea), zaś heurystyką jest np. algorytm najbliższego sąsiada (jako zastosowanie idei algorytmu zachłannego do konkretnego problemu).

→ Czytaj całość
Algorytm najmniejszej krawędzi – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera. Jest to algorytm wykorzystujący strategię zachłanną, jednak w inny sposób, niż algorytm najbliższego sąsiada. W anglojęzycznej literaturze algorytm jest najczęściej określany po prostu jako greedy algorithm (algorytm zachłanny), w skrócie GR.
→ Czytaj całość
Algorytm najbliższego sąsiada (ang. nearest neighbour algorithm, w skrócie NN) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera. Jest to algorytm wykorzystujący strategię zachłanną.
→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt