Algorytm Bellmana-Forda – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek w grafie. Wyznacza najkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka (zwanego wierzchołkiem źródłowym) do pozostałych wierzchołków. W odróżnieniu od algorytmu Dijkstry, algorytm Bellmana-Forda dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, nie mogą istnieć jednak ujemne cykle osiągalne z wierzchołka źródłowego. Algorytm może być również wykorzystywany do sprawdzania, czy w grafie występują ujemne cykle.
Algorytm występuje również pod nazwą algorytm Bellmana-Forda-Moore’a.
W trakcie wykonywania algorytmu dla każdego wierzchołka zostają wyznaczone dwie wartości: koszt dotarcia do tego wierzchołka (oznaczmy go jako di) oraz poprzedni wierzchołek na ścieżce (oznaczmy go jako pi). Na początku działania algorytmu dla wierzchołka źródłowego koszt dotarcia wynosi 0 (już tam jesteśmy), a dla każdego innego wierzchołka nieskończoność (w ogóle nie wiemy, jak się tam dostać).
Następnie dla każdej krawędzi (oznaczmy, że aktualnie analizowana krawędź ma wagę k i prowadzi z wierzchołka u do wierzchołka v) wykonujemy następującą czynność:
Jeżeli dv > du + k, to ustawiamy wartość dv na du + k, a wartość pv na u.
Całość (przejrzenie wszystkich krawędzi) należy powtórzyć n-1 razy, gdzie n jest liczbą wierzchołków. W każdej iteracji należy przejrzeć wszystkie krawędzie w tej samej kolejności. Jeśli w którejś iteracji nie nastąpią żadne zmiany, wykonywanie algorytmu można przerwać wcześniej.
Po zakończeniu działania algorytmu, dla każdej krawędzi powinna być spełniona nierówność: dv ≤ du + k (k to waga krawędzi, krawędź prowadzi z wierzchołka u do v). Mówiąc inaczej, kolejna iteracja algorytmu nie powinna spowodować jakichkolwiek zmian. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, to w grafie występuje ujemny cykl osiągalny z wierzchołka źródłowego.
Aby sprawdzić występowanie ujemnych pętli w całym grafie, należy dodać do grafu nowy wierzchołek, połączyć go krawędziami o zerowej wadze ze wszystkimi innymi wierzchołkami, a następnie wykonać algorytm traktując ten nowy wierzchołek jako wierzchołek źródłowy. Można również po prostu wykonać algorytm n razy (za każdym razem dla innego wierzchołka źródłowego), jednak zwiększyłoby to złożoność obliczeniową.
Dla grafu liczącego n wierzchołków i e krawędzi złożoność pesymistyczna jest równa O(en). Biorąc pod uwagę, że w przypadku braku krawędzi wielokrotnych liczba krawędzi jest zawsze mniejsza od n2, można powiedzieć, że złożoność czasowa algorytmu to O(n3).
Dodano: 30 marca 2017 19:25, ostatnia edycja: 30 stycznia 2019 15:38.
Powtarzalny algorytm najbliższego sąsiada (ang. repetitive nearest neighbour algorithm, w skrócie RNN) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera korzystający z algorytmu najbliższego sąsiada.
Algorytm polega na wielokrotnym wykonaniu algorytmu najbliższego sąsiada w taki sposób, aby każdy wierzchołek raz był wierzchołkiem początkowym. Następnie algorytm zwraca najlepsze spośród otrzymanych rozwiązań.
Dla grafu pełnego algorytm ma złożoność O(n3), gdzie n jest liczbą wierzchołków. W trakcie wykonywania algorytmu RNN n razy zostanie wykonany algorytm najbliższego sąsiada, który ma złożoność czasową O(n2).
Algorytm RNN nie daje gwarancji znalezienia rozwiązania optymalnego. W odróżnieniu od algorytmu najbliższego sąsiada daje jednak gwarancję, że zwróci rozwiązanie co najmniej tak dobre, jak n/2-1 innych rozwiązań (dowód i więcej informacji na ten temat znajduje się w pracy podanej w bibliografii).
Sortowanie przez scalanie – rekurencyjny algorytm sortowania wykorzystujący metodę dziel i zwyciężaj.
Wyznaczanie maksymalnego przepływu – problem obliczeniowy polegający na wyznaczeniu maksymalnego przepływu w sieci przepływowej.
Sieć przepływowa jest skierowanym grafem prostym. Każdy łuk (krawędź skierowana w grafie) ma swoją nieujemną wagę, która oznacza maksymalny dopuszczalny przepływ w tym łuku. Na potrzeby tego artykułu nazwijmy rzeczy przepływające przez sieć danymi. Jeden z wierzchołków sieci jest źródłem, z którego wypływają przesyłane dane. Inny z wierzchołków to ujście, do którego te dane wpływają. Zakłada się ponadto, że dla każdego z pozostałych wierzchołków istnieje ścieżka ze źródła do ujścia przechodząca przez ten wierzchołek.
Przepływem w sieci nazywamy przyporządkowanie każdemu łukowi pewnej wartości, która oznacza liczbę danych aktualnie przesyłanych przez ten łuk. Wartości te muszą spełniać następujące warunki:
Omawiany problem polega na dobraniu takiego przepływu, aby liczba danych wypływających ze źródła (i zarazem wpływających do ujścia) była jak największa.