Algorytmy i struktury danych z przykładami w Delphi
80,00 zł
Systemy operacyjne. Architektura, funkcjonowanie i projektowanie. Wydanie IX
−30%90,30 zł
Algorytmy. Ilustrowany przewodnik
54,90 zł
Młodzi giganci programowania. Scratch
34,90 zł
Czysty kod. Podręcznik dobrego programisty
69,00 zł
Java. Podstawy. Wydanie X
99,00 zł

Algorytm Bellmana-Forda

Tutorial
Na ten temat mamy również tutorial „Algorytm Bellmana-Forda”, który ilustruje działanie algorytmu krok po kroku. Zapraszamy do zapoznania się z nim!
REKLAMA

Algorytm Bellmana-Forda – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek w grafie. Wyznacza najkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka (zwanego wierzchołkiem źródłowym) do pozostałych wierzchołków. W odróżnieniu od algorytmu Dijkstry, algorytm Bellmana-Forda dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, nie mogą istnieć jednak ujemne cykle osiągalne z wierzchołka źródłowego. Algorytm może być również wykorzystywany do sprawdzania, czy w grafie występują ujemne cykle.

Algorytm występuje również pod nazwą algorytm Bellmana-Forda-Moore’a.

Opis działania algorytmu

W trakcie wykonywania algorytmu dla każdego wierzchołka zostają wyznaczone dwie wartości: koszt dotarcia do tego wierzchołka (oznaczmy go jako di) oraz poprzedni wierzchołek na ścieżce (oznaczmy go jako pi). Na początku działania algorytmu dla wierzchołka źródłowego koszt dotarcia wynosi 0 (już tam jesteśmy), a dla każdego innego wierzchołka nieskończoność (w ogóle nie wiemy, jak się tam dostać).

Następnie dla każdej krawędzi (oznaczmy, że aktualnie analizowana krawędź ma wagę k i prowadzi z wierzchołka u do wierzchołka v) wykonujemy następującą czynność:

Jeżeli dv > du + k, to ustawiamy wartość dv na du + k, a wartość pv na u.

Całość (przejrzenie wszystkich krawędzi) należy powtórzyć n-1 razy, gdzie n jest liczbą wierzchołków. W każdej iteracji należy przejrzeć wszystkie krawędzie w tej samej kolejności. Jeśli w którejś iteracji nie nastąpią żadne zmiany, wykonywanie algorytmu można przerwać wcześniej.

Wykrywanie ujemnych cykli

Po zakończeniu działania algorytmu, dla każdej krawędzi powinna być spełniona nierówność: dvdu + k (k to waga krawędzi, krawędź prowadzi z wierzchołka u do v). Mówiąc inaczej, kolejna iteracja algorytmu nie powinna spowodować jakichkolwiek zmian. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, to w grafie występuje ujemny cykl osiągalny z wierzchołka źródłowego.

Aby sprawdzić występowanie ujemnych pętli w całym grafie, należy dodać do grafu nowy wierzchołek, połączyć go krawędziami o zerowej wadze ze wszystkimi innymi wierzchołkami, a następnie wykonać algorytm traktując ten nowy wierzchołek jako wierzchołek źródłowy. Można również po prostu wykonać algorytm n razy (za każdym razem dla innego wierzchołka źródłowego), jednak zwiększyłoby to złożoność obliczeniową.

Złożoność czasowa

Dla grafu liczącego n wierzchołków i e krawędzi złożoność pesymistyczna jest równa O(en). Biorąc pod uwagę, że w przypadku braku krawędzi wielokrotnych liczba krawędzi jest zawsze mniejsza od n2, można powiedzieć, że złożoność czasowa algorytmu to O(n3).

Bibliografia

  1. A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012
Ocena: 0 Tak Nie
Liczba głosów: 0.

Dodano: 30 marca 2017 19:25, ostatnia edycja: 12 sierpnia 2017 13:52.

REKLAMA

Zobacz też

Algorytm Floyda-Warshalla – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków w grafie. Jest to algorytm oparty na programowaniu dynamicznym. Algorytm ma złożoność czasową O(n3) i złożoność pamięciową O(n2), gdzie n jest liczbą wierzchołków.

Algorytm dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, o ile nie tworzą ujemnych cykli. Algorytm może być również wykorzystywany do wyszukiwania ujemnych cykli w grafie.

→ Czytaj całość

Wyznaczanie maksymalnego przepływu – problem obliczeniowy polegający na wyznaczeniu maksymalnego przepływu w sieci przepływowej.

Sieć przepływowa jest skierowanym grafem prostym. Każdy łuk (krawędź skierowana w grafie) ma swoją nieujemną wagę, która oznacza maksymalny dopuszczalny przepływ w tym łuku. Na potrzeby tego artykułu nazwijmy rzeczy przepływające przez sieć danymi. Jeden z wierzchołków sieci jest źródłem, z którego wypływają przesyłane dane. Inny z wierzchołków to ujście, do którego te dane wpływają. Zakłada się ponadto, że dla każdego z pozostałych wierzchołków istnieje ścieżka ze źródła do ujścia przechodząca przez ten wierzchołek.

Przepływem w sieci nazywamy przyporządkowanie każdemu łukowi pewnej wartości, która oznacza liczbę danych aktualnie przesyłanych przez ten łuk. Wartości te muszą spełniać następujące warunki:

  • Wartość przyporządkowana krawędzi musi być mniejsza lub równa jej wadze (warunek przepustowości).
  • Do każdego wierzchołka (poza źródłem i ujściem) musi wpływać tyle samo danych, ile z niego wypływa (warunek zachowania przepływu).

Omawiany problem polega na dobraniu takiego przepływu, aby liczba danych wypływających ze źródła (i zarazem wpływających do ujścia) była jak największa.

→ Czytaj całość

Sortowanie przez scalanie – rekurencyjny algorytm sortowania wykorzystujący metodę dziel i zwyciężaj.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt