Ten artykuł opisuje pewną modyfikację algorytmu opartego na programowaniu dynamicznym rozwiązującego problem wydawania reszty. Algorytm ten daje gwarancję znalezienia rozwiązania optymalnego. Algorytm zaproponował J.W. Wright w pracy The Change-Making Problem (link w bibliografii).
Dany jest posortowany rosnąco ciąg nominałów A=(c1, c2, …, cn) oraz kwota do wydania r. Należy wyznaczyć takie nieujemne współczynniki k1, k2, …, kn, że k1c1+k2cc+…+kncn=r, a suma k1+k2+…+kn jest jak najmniejsza.
Zakładamy, że wszystkie nominały i kwota r są liczbami naturalnymi, a nominał c1=1. Przyjmujemy również że wartości k nie mają górnych ograniczeń.
Ten algorytm polega na rozstrzyganiu, od którego z nominałów należy rozpocząć wydawanie kwoty. Oznaczmy jako oi optymalną (najmniejszą z możliwych) liczbę monet potrzebnych do wyznaczenia kwoty i. Aby wyznaczyć wartość oi musimy wiedzieć, która z wartości: oi-c1, oi-c2, … ,oi-cj jest najmniejsza (j jest indeksem najwyższego nominału mniejszego bądź równego i). Rozwijając to zagadnienie rekurencyjnie dojdziemy w końcu do przypadku oczywistego, jakim jest wydanie kwoty 0 za pomocą 0 monet. Formalnie możemy to zapisać jako:
oi =
Warto zauważyć, że w ten sposób wyznaczamy jedynie łączną liczbę potrzebnych monet, a nie poszczególne współczynniki ki. Dlatego też w każdej komórce tabeli oprócz wartości oi należy zapamiętać również wartość si przechowującą indeks nominału, od którego należy rozpocząć wydawanie kwoty i.
Mając wyznaczone wartości si poszczególne współczynniki ki można wyznaczyć w prosty sposób. Na początku wszystkim współczynnikom ki przypisujemy wartość 0. Następnie sprawdzamy wartość sr i zwiększamy wartość współczynnika ksr o 1. W kolejnym kroku zmniejszamy wartość r o csr i odczytujemy kolejną wartość sr. Czynności powtarzamy, dopóki r>0.
Wartości oi można wyznaczać rekurencyjnie, jednak częściej wypełnia się ją w sposób iteracyjny (od wartości o0 do or).
Tabela tworzona w trakcie wykonywania algorytmu ma r+1 komórek (r jest kwotą do wydania). W trakcie wypełniania każdej komórki musimy sprawdzić co najwyżej n możliwości (n jest liczbą nominałów). Złożoność czasowa algorytmu jest zatem O(nr), a złożoność pamięciowa to O(r).
Załóżmy, że chcemy wyrazić kwotę 6 mając monety o nominałach 1, 3 i 4. Aby wyrazić tę kwotę za pomocą jak najmniejszej liczby monet, musimy wiedzieć, od której monety najlepiej zacząć wydawanie kwoty. W naszym przypadku musimy zatem wiedzieć:
Aby odpowiedzieć na powyższe pytania, musimy rekurencyjnie stawiać kolejne, aż dojdziemy do przypadku oczywistego (kwota równa 0 wymagająca użycia 0 monet). Aby nie stosować rekurencji, rozwiążmy problem w sposób iteracyjny, wyznaczając liczby monet potrzebnych do wydania kolejnych kwot od 0 do 6.
Podsumowując, aby wydać kwotę 6 najpierw należy użyć monety o nominale 3. Pozostaje wówczas kwota 3, do wydania której ponownie używamy monety o nominale 3. Uzyskujemy w ten sposób rozwiązanie optymalne.
Przykładowa implementacja algorytmu w języku C++ jest dostępna poniżej.
void programowanieDynamiczne(int* c, int n, int r, int* k) { // Alokacja tymczasowych tabel int* o = new int[r+1]; // Tutaj będą optymalne liczby monet potrzebne do wydania kwoty "i" int* s = new int[r+1]; // Tutaj będą indeksy nominałów, od których należy rozpocząć wydawanie kwoty "i" int i, j, opt; // Liczniki, zmienna pomocnicza o[0] = s[0] = 0; // Inicjalizacja dla kwoty 0 // Wypełnianie tabel for (i = 1; i <= r; ++i) { opt = 0; for (j = 1; j < n; ++j) { if ( (c[j] <= i) && (o[i - c[j]] <= o[i - c[opt]])) { opt = j; } } o[i] = o[i - c[opt]] + 1; s[i] = opt; } // Wyzerowanie tablicy k[] for (j = 0; j < n; ++j) { k[j] = 0; } // Zwiększanie wartości k na podstawie tablicy s while (r > 0) { k[s[r]] += 1; r -= c[s[r]]; } // Zwolnienie pamięci delete[] o; delete[] s; }
Przykładowe wywołanie funkcji:
int main() { int n = 6; int a[6] = { 1, 3, 4, 10, 30, 40 }; int k[6] = { 0 }; int r = 56; programowanieDynamiczne(a, n, r, k); return 0; }
Dodano: 1 grudnia 2016 19:32, ostatnia edycja: 30 stycznia 2019 14:11.
Notacja dużego O – notacja przedstawiająca asymptotyczne tempo wzrostu, wykorzystywana do zapisywania złożoności obliczeniowej algorytmu. Za pomocą tej notacji zapisywany jest rząd wielkości funkcji wyrażającej liczbę operacji dominujących (w przypadku złożoności czasowej) lub rozmiar wymaganej pamięci (w przypadku złożoności pamięciowej) w zależności od liczby danych wejściowych.
Wykorzystując notację dużego O nie podajemy dokładnego wzoru funkcji, a jedynie jej najbardziej znaczący składnik, w dodatku z pominięciem stałego współczynnika. Przykładowo, funkcję postaci f(n)=5n2+20n+100 możemy zapisać jako O(n2). Zakładamy bowiem, że dla dostatecznie dużych n wpływ pomijanych elementów jest znikomy. Choć oczywiście dla małych n może się zdarzyć, że funkcja o gorszej złożoności będzie się wykonywała szybciej.
Weźmy dla przykładu funkcje f(n) = 1000n+2000 i g(n) = n2. Choć pierwsza funkcja ma pozornie bardzo duże stałe współczynniki, to dla n ≥ 1002 będzie ona przyjmowała wartości mniejsze. Im większe n, tym ta różnica będzie wyraźniejsza. Dla n = 10000 (w przypadku danych przetwarzanych komputerowo nie jest to wielka wartość) f(n) = 10002000 (ok. 10 mln), a g(n) = 100000000 (100 mln), czyli blisko 10 razy więcej.
Możliwe jest również wykorzystanie notacji dużego O dla funkcji wielu zmiennych. Wówczas zapis może wyglądać tak: O(v2e). Znajduje to zastosowanie np. dla algorytmów operujących na grafach, gdzie złożoność zależy zarówno od liczby wierzchołków, jak i liczby krawędzi w grafie.
Zanieczyszczenie Giniego (ang. Gini Impurity) – miara niejednorodności danego zbioru wyrażająca się wzorem:
$$G = ∑↙{n} p_n (1-p_n),$$gdzie pn jest prawdopodobieństwem przynależności elementu do klasy n, czyli liczbą elementów danej klasy podzieloną przez liczbę elementów całego zbioru. Jeśli wszystkie elementy zbioru należą do tej samej klasy, zanieczyszczenie Giniego jest równe 0.
Zanieczyszczenia Giniego nie należy mylić ze współczynnikiem Giniego. Są to miary służące do wyrażania zupełnie innych rzeczy. Współczynnik Giniego określa nierównomierność rozkładu i jest wykorzystywany między innymi do liczbowego wyrażania nierówności w dochodach danego społeczeństwa.
Algorytmy zachłanne (ang. greedy algorithms) – algorytmy podejmujące w każdym kroku taką decyzję, która w danej chwili wydaje się najkorzystniejsza. Inaczej mówiąc, algorytmy zachłanne dokonują zawsze wyborów lokalnie optymalnych licząc, że doprowadzi to do znalezienia rozwiązania globalnie optymalnego. W ogólnym przypadku algorytmy zachłanne nie zawsze znajdują rozwiązanie optymalne. Są one zatem podzbiorem algorytmów heurystycznych. Jednocześnie są to algorytmy deterministyczne – nie ma w nich losowości.
Bardzo prostym przykładem algorytmu zachłannego może być szukanie najwyższego punktu na określonym obszarze poprzez przesuwanie się zawsze w kierunku największego nachylenia (nigdy się nie cofając ani nie rozpatrując kilku wariantów drogi). Jak widać, w ten sposób prawdopodobnie dojdziemy do wierzchołka położonego najbliżej od punktu początkowego, który niekoniecznie będzie najwyższym.