Algorytmy
49,00 zł
Nowoczesne receptury w Javie. Proste rozwiązania trudnych problemów
−30%38,43 zł
Wprowadzenie do obliczeń równoległych
−16%49,45 zł
Informatyka Europejczyka. Podręcznik dla szkoły podstawowej. Klasa 8
9,90 zł
Python. Uczenie maszynowe
69,00 zł
TDD. Techniki programowania sterowanego testami
59,00 zł

Minimalne drzewo rozpinające

Minimalne drzewo rozpinające, przykład Przykładowy graf (po lewej) i jego minimalne drzewo rozpinające
Minimalne drzewo rozpinające, tworzenie Budowanie minimalnego drzewa rozpinającego za pomocą algorytmu zachłannego

Minimalne drzewo rozpinające (ang. minimum spanning tree, w skrócie MST), inaczej drzewo rozpinające o minimalnej wadze – drzewo łączące wszystkie wierzchołki pewnego grafu spójnego mające najmniejszą możliwą sumę wag krawędzi.

Jeśli graf ma v wierzchołków, to jego drzewo rozpinające zawsze będzie miało v-1 krawędzi. Jeśli ten graf ma e krawędzi, aby utworzyć drzewo rozpinające, trzeba usunąć z grafu e-v+1 krawędzi. Liczba ta jest określana jako liczba cyklomatryczna.

Wyznaczanie minimalnego drzewa rozpinającego

Minimalne drzewo rozpinające można wyznaczyć stosując algorytm Kruskala wykorzystujący strategię zachłanną. Algorytm ten polega na dołączaniu do rozwiązania kolejno najkrótszych możliwych krawędzi, aż do otrzymania drzewa rozpinającego. Przebieg algorytmu można zapisać następująco:

  1. Posortuj krawędzie rosnąco według ich wag, umieść je w kolejce.
  2. Pobierz z kolejki krawędź o najmniejszej wadze, usuń ją z kolejki.
  3. Jeśli wierzchołki łączone przez tę krawędź należą do różnych drzew (wówczas dołączenie krawędzi nie spowoduje utworzenia cyklu), dołącz krawędź do rozwiązania.
  4. Jeśli liczba krawędzi dołączonych do rozwiązania wynosi v-1 (v jest liczbą wierzchołków), zakończ działanie algorytmu. W przeciwnym razie przejdź do punktu 2.

Bibliografia

  1. T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012.
Ocena: -1 Tak Nie
Liczba głosów: 1.

Dodano: 18 października 2016 18:30, ostatnia edycja: 5 kwietnia 2017 12:19.

Zobacz też

Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, w skrócie TSP) – problem obliczeniowy polegający na poszukiwaniu w grafie takiego cyklu, który zawiera wszystkie wierzchołki (każdy dokładnie raz) i ma jak najmniejszy koszt. Bardziej formalnie, problem komiwojażera polega na poszukiwaniu w grafie cyklu Hammiltona o najmniejszej wadze.

Problem ma liczne zastosowania w życiu codziennym. Najlepszym przykładem jest praca kuriera, który musi wyjechać z magazynu, zawieźć przesyłki w różne miejsca i wrócić do magazynu.

Nie jest znany efektywny (tj. działający w czasie co najwyżej wielomianowym) algorytm dający gwarancję znalezienia optymalnego rozwiązania problemu komiwojażera. Problem ten jest bowiem zaliczany do klasy problemów NP-trudnych. W wersji decyzyjnej (czy istnieje cykl o długości mniejszej od x) problem jest zaliczany do klasy problemów NP-zupełnych. W grafie pełnym mającym n wierzchołków liczba możliwych cykli Hammiltona wynosi aż (n-1)!/2. W praktyce sprawdzenie wszystkich możliwości jest zatem wykonalne tylko dla niewielkiej liczby wierzchołków.

→ Czytaj całość

K-opt, algorytm k-optymalny – algorytm lokalnej optymalizacji wykorzystywany przy rozwiązywaniu problemu komiwojażera. Algorytm ten nie służy do samego wyznaczania trasy, a jedynie do ulepszania jej. Najprostszą wersją tego algorytmu jest algorytm 2-optymalny.

→ Czytaj całość

Algorytm Helda-Karpa (czasami określany jako algorytm Bellmana-Helda-Karpa) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera. Jest to algorytm dokładny oparty na programowaniu dynamicznym. Algorytm ma złożoność czasową O(n22n) i złożoność pamięciową O(n2n). Jest to co prawda złożoność gorsza od wielomianowej, ale algorytm ten jest znacznie lepszy od algorytmu sprawdzającego wszystkie warianty (złożoność czasowa O(n!)).

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt