Metoda Forda-Fulkersona
Sieć przepływowa z pewnym przepływem (na górze), odpowiadająca jej sieć residualna (w środku) z zaznaczoną ścieżką powiększającą i ta sama sieć przepływowa po zwiększeniu przepływu (na dole)
Metoda Forda-Fulkersona – algorytm służący do wyznaczania maksymalnego przepływu. Jest to algorytm bardzo ogólny, dlatego często nie jest nazywany algorytmem, a metodą. Popularną implementacją tej metody jest algorytm Edmondsa-Karpa. Algorytm można opisać następująco:
- Wyznacz sieć residualną (opis sieci residualnej znajduje się w dalszej części artykułu).
- Znajdź w sieci residualnej dowolną ścieżkę powiększającą.
- Jeśli nie udało się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, zakończ działanie algorytmu.
- W przeciwnym razie zwiększ przepływ w sieci (w sposób opisany w dalszej części artukułu) i wróć do punktu 1.
Sieć residualna i ścieżka powiększająca
Sieć residualna jest grafem skierowanym tworzonym na podstawie sieci przepływowej i jej aktualnego przepływu. Wagi łuków w sieci residualnej oznaczają, o ile można zmienić przepływ w odpowiadającym mu łuku sieci przepływowej.
Liczba i układ łuków w sieci residualnej mogą być nieco inne, niż w sieci przepływowej. Jeśli przepływ w danym łuku sieci przepływowej jest większy od zera, to przepływ w tym łuku da się zmniejszyć – w sieci residualnej pojawi się wówczas dodatkowo łuk skierowany w przeciwną stronę, niż łuk w sieci przepływowej. Jeśli natomiast przepływ w łuku sieci przepływowej jest już maksymalny, to nie można go zwiększyć, zatem taki łuk nie będzie występował w sieci residualnej (będzie występował tylko łuk o przeciwnym zwrocie).
Ścieżka powiększająca to ścieżka w sieci residualnej prowadząca od źródła do ujścia. Najmniejsza spośród wag łuków należących do ścieżki powiekszającej jest określana jako jej przepustowość residualna. Jest to wartość, o którą można zwiększyć przepływ w sieci przepływowej.
Powiększenie przepływu w sieci o ścieżkę powiększającą można opisać następująco. Dla każdego łuku należącego do ścieżki powiększającej:
- Jeśli taki łuk istnieje w sieci przepływowej, zwiększ jego przepływ o przepustowość residualną ścieżki powiększającej.
- Jeśli taki łuk nie istnieje w sieci przepływowej, zmniejsz przepływ w łuku o przeciwnym zwrocie o przepustowość residualną ścieżki powiększającej.
Złożoność obliczeniowa
Ze względu na to, że metoda Forda-Fulkersona jest algorytmem bardzo ogólnym, złożoność obliczeniowa zależy od konkretnej implementacji. Jeśli założymy, że przepływy w łukach są liczbami naturalnymi, to możemy oszacować górne ograniczenie tej złożoności. W każdej iteracji algorytmu powiększymy przepływ o co najmniej 1, zatem liczba wykonań głównej pętli algorytmu będzie mniejsza bądź równa od maksymalnego przepływu (oznaczmy go f). W trakcie wyznaczania ścieżki powiększającej i zwiększania przepływu musimy przejrzeć w najgorszym wypadku wszystkie krawędzie (oznaczmy ich liczbę jako e). Kres górny złożoności czasowej jest zatem rzędu O(fe).
Bibliografia
- T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012.
- A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012
Liczba głosów: 0.
- Algorytm Edmondsa-Karpa
- Metoda Forda-Fulkersona
- Metoda z zastosowaniem przepływu blokującego
Dodano: 12 grudnia 2017 15:56.
Zobacz też
Metoda z zastosowaniem przepływu blokującego – algorytm wyznaczający maksymalny przepływ w sieci przepływowej. W algorytmie tym przepływ zwiększany jest iteracyjnie, w każdej iteracji wyznaczony przepływ jest powiększany o przepływ blokujący w warstwowej sieci residualnej.
Algorytm heurystyczny, heurystyka – algorytm poszukujący najlepszego spośród wielu dostępnych rozwiązań. Algorytmy heurystyczne w ogólnym przypadku nie dają gwarancji znalezienia rozwiązania optymalnego, jednak pozwalają znaleźć rozwiązanie dość dobre w stosunkowo krótkim czasie.
Pojęcie algorytmów heurystycznych jest bardzo szerokie, dotyczy ono różnych technik projektowania algorytmów. Wiele heurystyk wykorzystuje losowość, inne zaś są deterministyczne (wówczas dla takich samych danych wejściowych algorytm zawsze zwróci ten sam wynik).
Ogólny algorytm heurystyczny (opisujący samą ideę poszukiwań) bywa określany w literaturze jako metaheurystyka. Zgodnie z tym nazewnictwem, metaheurystyką jest np. algorytm zachłanny (jako ogólna idea), zaś heurystyką jest np. algorytm najbliższego sąsiada (jako zastosowanie idei algorytmu zachłannego do konkretnego problemu).
Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, w skrócie TSP) – problem obliczeniowy polegający na poszukiwaniu w grafie takiego cyklu, który zawiera wszystkie wierzchołki (każdy dokładnie raz) i ma jak najmniejszy koszt. Bardziej formalnie, problem komiwojażera polega na poszukiwaniu w grafie cyklu Hammiltona o najmniejszej wadze.
Problem ma liczne zastosowania w życiu codziennym. Najlepszym przykładem jest praca kuriera, który musi wyjechać z magazynu, zawieźć przesyłki w różne miejsca i wrócić do magazynu.
Nie jest znany efektywny (tj. działający w czasie co najwyżej wielomianowym) algorytm dający gwarancję znalezienia optymalnego rozwiązania problemu komiwojażera. Problem ten jest bowiem zaliczany do klasy problemów NP-trudnych. W wersji decyzyjnej (czy istnieje cykl o długości mniejszej od x) problem jest zaliczany do klasy problemów NP-zupełnych. W grafie pełnym mającym n wierzchołków liczba możliwych cykli Hammiltona wynosi aż (n-1)!/2. W praktyce sprawdzenie wszystkich możliwości jest zatem wykonalne tylko dla niewielkiej liczby wierzchołków.