Metoda Forda-Fulkersona

Sieć przepływowa i residualna (1) Sieć przepływowa z pewnym przepływem (na górze), odpowiadająca jej sieć residualna (w środku) z zaznaczoną ścieżką powiększającą i ta sama sieć przepływowa po zwiększeniu przepływu (na dole)
REKLAMA Algorytmy, struktury danych i techniki programowania. Wydanie V
49,00 zł
Python. Uczenie maszynowe
69,00 zł
Architektura ewolucyjna. Projektowanie oprogramowania i wsparcie zmian
−30%41,30 zł
Mistrz czystego kodu. Kodeks postępowania profesjonalnych programistów
39,00 zł

Metoda Forda-Fulkersona – algorytm służący do wyznaczania maksymalnego przepływu. Jest to algorytm bardzo ogólny, dlatego często nie jest nazywany algorytmem, a metodą. Popularną implementacją tej metody jest algorytm Edmondsa-Karpa. Algorytm można opisać następująco:

  1. Wyznacz sieć residualną (opis sieci residualnej znajduje się w dalszej części artykułu).
  2. Znajdź w sieci residualnej dowolną ścieżkę powiększającą.
  3. Jeśli nie udało się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, zakończ działanie algorytmu.
  4. W przeciwnym razie zwiększ przepływ w sieci (w sposób opisany w dalszej części artukułu) i wróć do punktu 1.

Sieć residualna i ścieżka powiększająca

Sieć residualna jest grafem skierowanym tworzonym na podstawie sieci przepływowej i jej aktualnego przepływu. Wagi łuków w sieci residualnej oznaczają, o ile można zmienić przepływ w odpowiadającym mu łuku sieci przepływowej.

Liczba i układ łuków w sieci residualnej mogą być nieco inne, niż w sieci przepływowej. Jeśli przepływ w danym łuku sieci przepływowej jest większy od zera, to przepływ w tym łuku da się zmniejszyć – w sieci residualnej pojawi się wówczas dodatkowo łuk skierowany w przeciwną stronę, niż łuk w sieci przepływowej. Jeśli natomiast przepływ w łuku sieci przepływowej jest już maksymalny, to nie można go zwiększyć, zatem taki łuk nie będzie występował w sieci residualnej (będzie występował tylko łuk o przeciwnym zwrocie).

Ścieżka powiększająca to ścieżka w sieci residualnej prowadząca od źródła do ujścia. Najmniejsza spośród wag łuków należących do ścieżki powiekszającej jest określana jako jej przepustowość residualna. Jest to wartość, o którą można zwiększyć przepływ w sieci przepływowej.

Powiększenie przepływu w sieci o ścieżkę powiększającą można opisać następująco. Dla każdego łuku należącego do ścieżki powiększającej:

  • Jeśli taki łuk istnieje w sieci przepływowej, zwiększ jego przepływ o przepustowość residualną ścieżki powiększającej.
  • Jeśli taki łuk nie istnieje w sieci przepływowej, zmniejsz przepływ w łuku o przeciwnym zwrocie o przepustowość residualną ścieżki powiększającej.

Złożoność obliczeniowa

Ze względu na to, że metoda Forda-Fulkersona jest algorytmem bardzo ogólnym, złożoność obliczeniowa zależy od konkretnej implementacji. Jeśli założymy, że przepływy w łukach są liczbami naturalnymi, to możemy oszacować górne ograniczenie tej złożoności. W każdej iteracji algorytmu powiększymy przepływ o co najmniej 1, zatem liczba wykonań głównej pętli algorytmu będzie mniejsza bądź równa od maksymalnego przepływu (oznaczmy go f). W trakcie wyznaczania ścieżki powiększającej i zwiększania przepływu musimy przejrzeć w najgorszym wypadku wszystkie krawędzie (oznaczmy ich liczbę jako e). Kres górny złożoności czasowej jest zatem rzędu O(fe).

Bibliografia

  • T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012, ISBN 9788301169114.
  • A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012, ISBN 9788373359383.
Ocena: 0 Tak Nie
Liczba głosów: 0.

Dodano: 12 grudnia 2017 15:56, ostatnia edycja: 26 stycznia 2019 17:50.

REKLAMA

Zobacz też

Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) – prosty algorytm sortowania polegający na wstawianiu kolejnych elementów ciągu we właściwe miejsca. Złożoności czasowa algorytmu wynosi O(n2). Jest to algorytm realizujący metodę przyrostową.

→ Czytaj całość

Metoda przyrostowa – technika projektowania algorytmów polegająca na dodawaniu do rozwiązania kolejnych elementów z danych wejściowych. Przykładem algorytmu opartego na tej metodzie jest sortowanie przez wstawianie, gdzie kolejne elementy są wstawiane do posortowanej części tablicy.

Jest to metoda prosta, jednak sprawdza się tylko dla niektórych problemów obliczeniowych.

→ Czytaj całość

Wyznaczanie maksymalnego przepływu – problem obliczeniowy polegający na wyznaczeniu maksymalnego przepływu w sieci przepływowej.

Sieć przepływowa jest skierowanym grafem prostym. Każdy łuk (krawędź skierowana w grafie) ma swoją nieujemną wagę, która oznacza maksymalny dopuszczalny przepływ w tym łuku. Na potrzeby tego artykułu nazwijmy rzeczy przepływające przez sieć danymi. Jeden z wierzchołków sieci jest źródłem, z którego wypływają przesyłane dane. Inny z wierzchołków to ujście, do którego te dane wpływają. Zakłada się ponadto, że dla każdego z pozostałych wierzchołków istnieje ścieżka ze źródła do ujścia przechodząca przez ten wierzchołek.

Przepływem w sieci nazywamy przyporządkowanie każdemu łukowi pewnej wartości, która oznacza liczbę danych aktualnie przesyłanych przez ten łuk. Wartości te muszą spełniać następujące warunki:

  • Wartość przyporządkowana krawędzi musi być mniejsza lub równa jej wadze (warunek przepustowości).
  • Do każdego wierzchołka (poza źródłem i ujściem) musi wpływać tyle samo danych, ile z niego wypływa (warunek zachowania przepływu).

Omawiany problem polega na dobraniu takiego przepływu, aby liczba danych wypływających ze źródła (i zarazem wpływających do ujścia) była jak największa.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt