Metoda Forda-Fulkersona – algorytm służący do wyznaczania maksymalnego przepływu. Jest to algorytm bardzo ogólny, dlatego często nie jest nazywany algorytmem, a metodą. Popularną implementacją tej metody jest algorytm Edmondsa-Karpa. Algorytm można opisać następująco:
Sieć residualna jest grafem skierowanym tworzonym na podstawie sieci przepływowej i jej aktualnego przepływu. Wagi łuków w sieci residualnej oznaczają, o ile można zmienić przepływ w odpowiadającym mu łuku sieci przepływowej.
Liczba i układ łuków w sieci residualnej mogą być nieco inne, niż w sieci przepływowej. Jeśli przepływ w danym łuku sieci przepływowej jest większy od zera, to przepływ w tym łuku da się zmniejszyć – w sieci residualnej pojawi się wówczas dodatkowo łuk skierowany w przeciwną stronę, niż łuk w sieci przepływowej. Jeśli natomiast przepływ w łuku sieci przepływowej jest już maksymalny, to nie można go zwiększyć, zatem taki łuk nie będzie występował w sieci residualnej (będzie występował tylko łuk o przeciwnym zwrocie).
Ścieżka powiększająca to ścieżka w sieci residualnej prowadząca od źródła do ujścia. Najmniejsza spośród wag łuków należących do ścieżki powiekszającej jest określana jako jej przepustowość residualna. Jest to wartość, o którą można zwiększyć przepływ w sieci przepływowej.
Powiększenie przepływu w sieci o ścieżkę powiększającą można opisać następująco. Dla każdego łuku należącego do ścieżki powiększającej:
Ze względu na to, że metoda Forda-Fulkersona jest algorytmem bardzo ogólnym, złożoność obliczeniowa zależy od konkretnej implementacji. Jeśli założymy, że przepływy w łukach są liczbami naturalnymi, to możemy oszacować górne ograniczenie tej złożoności. W każdej iteracji algorytmu powiększymy przepływ o co najmniej 1, zatem liczba wykonań głównej pętli algorytmu będzie mniejsza bądź równa od maksymalnego przepływu (oznaczmy go f). W trakcie wyznaczania ścieżki powiększającej i zwiększania przepływu musimy przejrzeć w najgorszym wypadku wszystkie krawędzie (oznaczmy ich liczbę jako e). Kres górny złożoności czasowej jest zatem rzędu O(fe).
Dodano: 12 grudnia 2017 15:56, ostatnia edycja: 24 kwietnia 2020 20:19.
Algorytm Johnsona – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków w grafie. Algorytm wykorzystuje algorytm Dijkstry i algorytm Bellmana-Forda. Dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, o ile nie tworzą ujemnych cykli.
Złożoność czasowa algorytmu (jeśli algorytm Dijkstry zostanie zaimplementowany z wykorzystaniem kopca Fibonacciego) to O(n2log n + en), gdzie n jest liczbą wierzchołków, a e jest liczbą krawędzi. Dla grafów rzadkich (ze stosunkowo małą liczbą krawędzi) jest to złożoność lepsza, niż złożoność algorytmu Floyda-Warshalla.
Graf – struktura G = (V, E) składająca się ze skończonego zbioru wierzchołków V oraz skończonego zbioru krawędzi E, gdzie każda krawędź e ∈ E jest dwuelementowym zbiorem wierzchołków u, v ∈ V. Wierzchołki u, v połączone krawędzią e = {u, v} określane są sąsiednimi. Grafy mają szerokie zastosowanie w informatyce, można za ich pomocą przedstawiać rożnego rodzaju relacje pomiędzy obiektami.
Powyższa definicja dotyczy grafu nieskierowanego, gdzie relacja sąsiedztwa jest symetryczna, tzn. krawędź łączy wierzchołki „w obie strony”. W grafie skierowanym krawędzie są „jednokierunkowe”. Krawędź grafu skierowanego zazwyczaj jest określana jako łuk.
Graf ważony (inaczej graf z wagami) to taki graf, w którym każdej krawędzi przypisana jest pewna wartość liczbowa. Wartość ta może oznaczać np. długość krawędzi lub jej przepustowość.
Ten artykuł opisuje pewną modyfikację algorytmu opartego na programowaniu dynamicznym rozwiązującego problem wydawania reszty. Algorytm ten daje gwarancję znalezienia rozwiązania optymalnego. Algorytm zaproponował J.W. Wright w pracy The Change-Making Problem (link w bibliografii).