Algorytm Edmondsa-Karpa
Animacja pokazująca przykładowe wykonanie algorytmu. W sieci przepływowej wartość przed ukośnikiem oznacza aktualny przepływ, a wartość po ukośniku – przepływ maksymalny. Ścieżka powiększająca oznaczana jest na pomarańczowo
Ten sam przykład zaprezentowany na jednym obrazku (kliknij, aby powiększyć)
Algorytm Edmondsa-Karpa – algorytm wyszukiwania maksymalnego przepływu w sieci przepływowej. Jest to przypadek szczególny algorytmu Forda-Fulkersona.
W algorytmie Edmondsa-Karpa ścieżka powiększająca wyznaczana jest za pomocą przeszukiwania grafu wszerz. Dzięki temu w każdej iteracji algorytmu dołączana jest zawsze najkrótsza (pod względem liczby krawędzi) ścieżka powiększająca. W metodzie Forda-Fulkersona sposób wyznaczania ścieżki powiększającej jest dowolny.
Pojęcia
Aby zrozumieć algorytm Edmondsa-Karpa (i ogólnie metodę Forda-Fulkersona) konieczna jest znajomość następujących pojęć:
- Sieć residualna – graf skierowany, w którym każdy łuk (krawędź skierowana) informuje, o ile można zmienić (zwiększyć bądź zmniejszyć) przepływ w danym łuku sieci przepływowej. Przykład: załóżmy, że w sieci przepływowej mamy łuk prowadzący z wierzchołka A do wierzchołka B o przepustowości 5, przy czym aktualnie wykorzystujemy przepustowość 2. Zakładamy też, że sieć nie zawiera łuku prowadzącego z B do A. W takim przypadku sieć residualna będzie zawierała łuk prowadzący z A do B o wartości 3 (o tyle możemy zwiększyć przepływ) oraz łuk prowadzący z B do A o wartości 2 (o tyle możemy zmniejszyć przepływ).
- Ścieżka powiększająca – ścieżka prosta (tzn. nie przechodząca wielokrotnie przez ten sam wierzchołek) w sieci residualnej prowadząca od źródła do ujścia.
- Przepustowość residualna ścieżki powiększającej – maksymalna wartość, o którą możemy zwiększyć przepływ na ścieżce powiększającej. Jest ona równa najmniejszej spośród wag łuków należących do ścieżki powiększającej.
Przebieg algorytmu
Algorytm ten przebiega w następująco:
- Tworzymy sieć residualną,
- Wyznaczamy ścieżkę powiększającą w sieci residualnej przeszukując ją wszerz,
- Jeśli nie da się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, kończymy działanie algorytmu. W przeciwnym razie modyfikujemy przepływ w sieci przepływowej o wartość residualną ścieżki powiększającej.
Złożoność czasowa algorytmu
Wyznaczenie ścieżki za pomocą przeszukiwania wszerz ma złożoność O(e) (e jest liczbą krawędzi). Liczba wykonań głównej pętli algorytmu jest rzędu O(ne) (n jest liczbą wierzchołków). Złożoność czasowa algorytmu Edmondsa-Karpa wynosi zatem O(ne2). Wyprowadzenie tych wartości można znaleźć w książce Wprowadzenie do algorytmów.
Bibliografia
- T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012.
- A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012
Liczba głosów: 0.
- Algorytm Edmondsa-Karpa
- Metoda Forda-Fulkersona
- Metoda z zastosowaniem przepływu blokującego
Dodano: 22 listopada 2017 18:04, ostatnia edycja: 12 grudnia 2017 15:57.
Zobacz też
Ten artykuł opisuje algorytm rozwiązujący problem wydawania reszty oparty na programowaniu dynamicznym. Algorytm ten daje gwarancję znalezienia rozwiązania optymalnego.
Istnieje również pewna modyfikacja tego algorytmu, która została opisana w osobnym artykule.
Dziel i zwyciężaj (ang. divide and conquer) – technika projektowania algorytmów polegająca na podejściu rekurencyjnym. W technice tej problem dzielony jest na mniejsze podproblemy, te podproblemy na jeszcze mniejsze podproblemy, aż dojdzie się do przypadków trywialnych (np. posortowanie jednoelementowej tablicy, obliczenie silni z 1).
Jeśli rozpatrywany problem wymaga podzielenia na podproblemy, jest on określany jako przypadek rekurencyjny. Jeśli mamy do czynienia z przypadkiem trywialnym, jest to przypadek bazowy. Tworząc algorytm wykorzystujący metodę dziel i zwyciężaj musimy ustalić:
- Jak rozwiązać przypadek bazowy (trywialny).
- Jak wyznaczyć rozwiązanie problemu, mając dostępne rozwiązania podproblemów.
Przykładem algorytmu opartego na tej metodzie jest sortowanie przez scalanie.
Stos (ang. Stack) – struktura danych, w której bezpośredni dostęp jest tylko do ostatnio dodanego elementu. Stos bywa określany także jako kolejka LIFO (z ang. Last In, First Out, czyli: ostatni na wejściu, pierwszy na wyjściu). Stos można sobie wyobrazić jako kilka rzeczy ułożonych „jedna na drugiej” – łatwo można wziąć tylko rzecz leżącą na samym wierzchu, gdyż pozostałe są przykryte.