Algorytm Edmondsa-Karpa
(1) Animacja pokazująca przykładowe wykonanie algorytmu. W sieci przepływowej wartość przed ukośnikiem oznacza aktualny przepływ, a wartość po ukośniku – przepływ maksymalny. Ścieżka powiększająca oznaczana jest na pomarańczowo
Algorytm Edmondsa-Karpa – algorytm wyszukiwania maksymalnego przepływu w sieci przepływowej. Jest to przypadek szczególny algorytmu Forda-Fulkersona.
W algorytmie Edmondsa-Karpa ścieżka powiększająca wyznaczana jest za pomocą przeszukiwania grafu wszerz. Dzięki temu w każdej iteracji algorytmu dołączana jest zawsze najkrótsza (pod względem liczby krawędzi) ścieżka powiększająca. W metodzie Forda-Fulkersona sposób wyznaczania ścieżki powiększającej jest dowolny.
Pojęcia
Aby zrozumieć algorytm Edmondsa-Karpa (i ogólnie metodę Forda-Fulkersona) konieczna jest znajomość następujących pojęć:
- Sieć residualna – graf skierowany, w którym każdy łuk (krawędź skierowana) informuje, o ile można zmienić (zwiększyć bądź zmniejszyć) przepływ w danym łuku sieci przepływowej. Przykład: załóżmy, że w sieci przepływowej mamy łuk prowadzący z wierzchołka A do wierzchołka B o przepustowości 5, przy czym aktualnie wykorzystujemy przepustowość 2. Zakładamy też, że sieć nie zawiera łuku prowadzącego z B do A. W takim przypadku sieć residualna będzie zawierała łuk prowadzący z A do B o wartości 3 (o tyle możemy zwiększyć przepływ) oraz łuk prowadzący z B do A o wartości 2 (o tyle możemy zmniejszyć przepływ).
- Ścieżka powiększająca – ścieżka prosta (tzn. nie przechodząca wielokrotnie przez ten sam wierzchołek) w sieci residualnej prowadząca od źródła do ujścia.
- Przepustowość residualna ścieżki powiększającej – maksymalna wartość, o którą możemy zwiększyć przepływ na ścieżce powiększającej. Jest ona równa najmniejszej spośród wag łuków należących do ścieżki powiększającej.
Przebieg algorytmu
Algorytm ten przebiega w następująco:
- Tworzymy sieć residualną,
- Wyznaczamy ścieżkę powiększającą w sieci residualnej przeszukując ją wszerz,
- Jeśli nie da się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, kończymy działanie algorytmu. W przeciwnym razie modyfikujemy przepływ w sieci przepływowej o wartość residualną ścieżki powiększającej.
Złożoność czasowa algorytmu
Wyznaczenie ścieżki za pomocą przeszukiwania wszerz ma złożoność O(e) (e jest liczbą krawędzi). Liczba wykonań głównej pętli algorytmu jest rzędu O(ne) (n jest liczbą wierzchołków). Złożoność czasowa algorytmu Edmondsa-Karpa wynosi zatem O(ne2). Wyprowadzenie tych wartości można znaleźć w książce Wprowadzenie do algorytmów.
Bibliografia
- T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012.
- A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012
Liczba głosów: 0.
- Algorytm Edmondsa-Karpa
- Metoda Forda-Fulkersona
- Metoda z zastosowaniem przepływu blokującego
Dodano: 22 listopada 2017 18:04, ostatnia edycja: 12 grudnia 2017 15:57.
Zobacz też
Bogosort – bardzo słaby algorytm sortowania oparty na metodzie prób i błędów. Polega na ustawianiu elementów w losowej kolejności i sprawdzaniu, czy są posortowane. Średnia złożoność tego algorytmu jest rzędu silnia, a w przypadku pesymistycznym algorytm będzie działał w nieskończoność.
Algorytm występuje też w nieco ulepszonej wersji, w której nie sprawdza się wielokrotnie tego samego ustawienia. Wówczas algorytm daje gwarancję znalezienia rozwiązania, jednak jego złożoność czasowa nadal jest rzędu silnia (w przypadku pesymistycznym trzeba sprawdzić wszystkie permutacje zbioru).
Ze względu na bardzo dużą złożoność czasową bogosort nie nadaje się do praktycznych zastosowań. Istnieją proste w implementacji, a znacznie wydajniejsze algorytmy sortujące, np. sortowanie przez wstawianie.
Algorytm – przepis, zbiór poleceń, opis ciągu operacji prowadzących do rozwiązania konkretnego problemu. Algorytm możemy również rozumieć jako funkcję przekształcającą dane wejściowe w dane wyjściowe.
Algorytm musi być skończony, czyli jego zapis ma składać się ze skończonej liczby znaków. Musi również być poprawny, czyli dla wszystkich możliwych danych wejściowych powinien zwracać prawidłowy wynik (może być nim informacja o braku rozwiązania). Algorytm musi wykazywać również własność stopu – niezależnie od danych wejściowych obliczenia algorytmu powinny dochodzić do punktu końcowego, czyli po prostu kończyć się (nie mogą np. wpadać w nieskończoną iterację). Zapis algorytmu musi być precyzyjny, bez jakichkolwiek niejasności.
Symulowane wyżarzanie – jedna z technik projektowania algorytmów heurystycznych (metaheurystyka). Cechą charakterystyczną tej metody jest występowanie parametru sterującego zwanego temperaturą, który maleje w trakcie wykonywania algorytmu. Im wyższą wartość ma ten parametr, tym bardziej chaotyczne mogą być zmiany. Podejście to jest inspirowane zjawiskami obserwowanymi w metalurgii – im większa temperatura metalu, tym bardziej jest on plastyczny.
Jest to metoda iteracyjna: najpierw losowane jest pewne rozwiązanie, a następnie jest ono w kolejnych krokach modyfikowane. Jeśli w danym kroku uzyskamy rozwiązanie lepsze, wybieramy je zawsze. Istotną cechą symulowanego wyżarzania jest jednak to, że z pewnym prawdopodobieństwem może być również zaakceptowane rozwiązanie gorsze (ma to na celu umożliwienie wyjście z maksimum lokalnego).
Prawdopodobieństwo przyjęcia gorszego rozwiązania wyrażone jest wzorem e(f(X)−f(X'))/T (rozkład Boltzmanna), gdzie X jest poprzednim rozwiązaniem, X' nowym rozwiązaniem, a f funkcją oceny jakości – im wyższa wartość f(X), tym lepsze rozwiązanie. Ze wzoru można zauważyć, że prawdopodobieństwo przyjęcia gorszego rozwiązania spada wraz ze spadkiem temperatury i wzrostem różnicy jakości obu rozwiązań.