Algorytm Edmondsa-Karpa – algorytm wyszukiwania maksymalnego przepływu w sieci przepływowej. Jest to przypadek szczególny algorytmu Forda-Fulkersona.

W algorytmie Edmondsa-Karpa ścieżka powiększająca wyznaczana jest za pomocą przeszukiwania grafu wszerz. Dzięki temu w każdej iteracji algorytmu dołączana jest zawsze najkrótsza (pod względem liczby krawędzi) ścieżka powiększająca. W metodzie Forda-Fulkersona sposób wyznaczania ścieżki powiększającej jest dowolny.

Pojęcia

Aby zrozumieć algorytm Edmondsa-Karpa (i ogólnie metodę Forda-Fulkersona) konieczna jest znajomość następujących pojęć:

• Sieć residualna – graf skierowany, w którym każdy łuk (krawędź skierowana) informuje, o ile można zmienić (zwiększyć bądź zmniejszyć) przepływ w danym łuku sieci przepływowej. Przykład: załóżmy, że w sieci przepływowej mamy łuk prowadzący z wierzchołka A do wierzchołka B o przepustowości 5, przy czym aktualnie wykorzystujemy przepustowość 2. Zakładamy też, że sieć nie zawiera łuku prowadzącego z B do A. W takim przypadku sieć residualna będzie zawierała łuk prowadzący z A do B o wartości 3 (o tyle możemy zwiększyć przepływ) oraz łuk prowadzący z B do A o wartości 2 (o tyle możemy zmniejszyć przepływ).
• Ścieżka powiększająca – ścieżka prosta (tzn. nie przechodząca wielokrotnie przez ten sam wierzchołek) w sieci residualnej prowadząca od źródła do ujścia.
• Przepustowość residualna ścieżki powiększającej – maksymalna wartość, o którą możemy zwiększyć przepływ na ścieżce powiększającej. Jest ona równa najmniejszej spośród wag łuków należących do ścieżki powiększającej.

REKLAMA

Przebieg algorytmu

Algorytm ten przebiega w następująco:

1. Tworzymy sieć residualną,
2. Wyznaczamy ścieżkę powiększającą w sieci residualnej przeszukując ją wszerz,
3. Jeśli nie da się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, kończymy działanie algorytmu. W przeciwnym razie modyfikujemy przepływ w sieci przepływowej o wartość residualną ścieżki powiększającej.

Złożoność czasowa algorytmu

Wyznaczenie ścieżki za pomocą przeszukiwania wszerz ma złożoność O(e) (e jest liczbą krawędzi). Liczba wykonań głównej pętli algorytmu jest rzędu O(ne) (n jest liczbą wierzchołków). Złożoność czasowa algorytmu Edmondsa-Karpa wynosi zatem O(ne²). Wyprowadzenie tych wartości można znaleźć w książce Wprowadzenie do algorytmów.

Bibliografia

1. T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012.
2. A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012