Algorytmy. Ćwiczenia
34,90 zł
PHP 7. Algorytmy i struktury danych
−30%41,30 zł
PHP 7. Algorytmy i struktury danych
−30%41,30 zł
Python. Uczenie maszynowe
69,00 zł
Android Studio. Tworzenie aplikacji mobilnych
69,00 zł
JavaScript i jQuery. Interaktywne strony WWW dla każdego
99,00 zł

Algorytm Edmondsa-Karpa

Algorytm Edmondsa-Karpa Animacja pokazująca przykładowe wykonanie algorytmu. W sieci przepływowej wartość przed ukośnikiem oznacza aktualny przepływ, a wartość po ukośniku – przepływ maksymalny. Ścieżka powiększająca oznaczana jest na pomarańczowo
Algorytm Edmondsa-Karpa, jeden arkusz Ten sam przykład zaprezentowany na jednym obrazku (kliknij, aby powiększyć)

Algorytm Edmondsa-Karpa – algorytm wyszukiwania maksymalnego przepływu w sieci przepływowej. Jest to przypadek szczególny algorytmu Forda-Fulkersona.

W algorytmie Edmondsa-Karpa ścieżka powiększająca wyznaczana jest za pomocą przeszukiwania grafu wszerz. Dzięki temu w każdej iteracji algorytmu dołączana jest zawsze najkrótsza (pod względem liczby krawędzi) ścieżka powiększająca. W metodzie Forda-Fulkersona sposób wyznaczania ścieżki powiększającej jest dowolny.

Pojęcia

Aby zrozumieć algorytm Edmondsa-Karpa (i ogólnie metodę Forda-Fulkersona) konieczna jest znajomość następujących pojęć:

  • Sieć residualna – graf skierowany, w którym każdy łuk (krawędź skierowana) informuje, o ile można zmienić (zwiększyć bądź zmniejszyć) przepływ w danym łuku sieci przepływowej. Przykład: załóżmy, że w sieci przepływowej mamy łuk prowadzący z wierzchołka A do wierzchołka B o przepustowości 5, przy czym aktualnie wykorzystujemy przepustowość 2. Zakładamy też, że sieć nie zawiera łuku prowadzącego z B do A. W takim przypadku sieć residualna będzie zawierała łuk prowadzący z A do B o wartości 3 (o tyle możemy zwiększyć przepływ) oraz łuk prowadzący z B do A o wartości 2 (o tyle możemy zmniejszyć przepływ).
  • Ścieżka powiększająca – ścieżka prosta (tzn. nie przechodząca wielokrotnie przez ten sam wierzchołek) w sieci residualnej prowadząca od źródła do ujścia.
  • Przepustowość residualna ścieżki powiększającej – maksymalna wartość, o którą możemy zwiększyć przepływ na ścieżce powiększającej. Jest ona równa najmniejszej spośród wag łuków należących do ścieżki powiększającej.

Przebieg algorytmu

Algorytm ten przebiega w następująco:

  1. Tworzymy sieć residualną,
  2. Wyznaczamy ścieżkę powiększającą w sieci residualnej przeszukując ją wszerz,
  3. Jeśli nie da się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, kończymy działanie algorytmu. W przeciwnym razie modyfikujemy przepływ w sieci przepływowej o wartość residualną ścieżki powiększającej.

Złożoność czasowa algorytmu

Wyznaczenie ścieżki za pomocą przeszukiwania wszerz ma złożoność O(e) (e jest liczbą krawędzi). Liczba wykonań głównej pętli algorytmu jest rzędu O(ne) (n jest liczbą wierzchołków). Złożoność czasowa algorytmu Edmondsa-Karpa wynosi zatem O(ne2). Wyprowadzenie tych wartości można znaleźć w książce Wprowadzenie do algorytmów.

Bibliografia

  1. T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012.
  2. A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012
Ocena: 0 Tak Nie
Liczba głosów: 0.

Dodano: 22 listopada 2017 18:04, ostatnia edycja: 12 grudnia 2017 15:57.

Zobacz też

Algorytm Helda-Karpa (czasami określany jako algorytm Bellmana-Helda-Karpa) – algorytm służący do rozwiązywania problemu komiwojażera. Jest to algorytm dokładny oparty na programowaniu dynamicznym. Algorytm ma złożoność czasową O(n22n) i złożoność pamięciową O(n2n). Jest to co prawda złożoność gorsza od wielomianowej, ale algorytm ten jest znacznie lepszy od algorytmu sprawdzającego wszystkie warianty (złożoność czasowa O(n!)).

→ Czytaj całość

Algorytm Kruskala – algorytm wyznaczający minimalne drzewo rozpinające. Algorytm ten wykorzystuje strategię zachłanną.

→ Czytaj całość

Wyznaczanie najkrótszej ścieżki – zagadnienie polegające na wyszkaniu w grafie takiej ścieżki łączącej dwa wierzchołki, której suma wag krawędzi jest jak najmniejsza.

W przypadku pesymistycznym do wyznaczenia optymalnej ścieżki z wierzchołka A do wierzchołka B konieczne jest wyznaczenie najkrótszych ścieżek z wierzchołka A do wszystkich pozostałych wierzchołków w grafie. Zagadnienie takie jest określane jako poszukiwanie najkrótszych ścieżek z jednego źródła. Do rozwiązywania tego zagadnienia można wykorzystać następujące algorytmy:

Nieco innym zagadnieniem jest poszukiwanie najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków. W tym celu można wykorzystać algorytmy wymienione powyżej (wykonując je wielokrotnie, za każdym razem przyjmując inny wierzchołek źródłowy) lub algorytmy poszukujące od razu wszystkich ścieżek, takie jak:

Aby znalezienie najkrótszej ścieżki było możliwe, graf nie może zawierać ujemnych cykli osiągalnych z wierzchołka źródłowego. Jeśli taki cykl istnieje, to poruszając się nim „w kółko” cały czas zmniejszamy długość ścieżki. Dopuszczalne jest natomiast występowanie krawędzi o ujemnej wadze, choć nie wszystkie algorytmy dopuszczają ten przypadek.

Jeśli poszukujemy ścieżek o najmniejszej liczbie krawędzi (np. wtedy, gdy wszystkie krawędzie mają taką samą, dodatnią wagę), to zamiast powyższych algorytmów możemy skorzystać z prostego przeszukiwania grafu wszerz.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt