Algorytm Edmondsa-Karpa
(1) Animacja pokazująca przykładowe wykonanie algorytmu. W sieci przepływowej wartość przed ukośnikiem oznacza aktualny przepływ, a wartość po ukośniku – przepływ maksymalny. Ścieżka powiększająca oznaczana jest na pomarańczowo
Algorytm Edmondsa-Karpa – algorytm wyszukiwania maksymalnego przepływu w sieci przepływowej. Jest to przypadek szczególny algorytmu Forda-Fulkersona.
W algorytmie Edmondsa-Karpa ścieżka powiększająca wyznaczana jest za pomocą przeszukiwania grafu wszerz. Dzięki temu w każdej iteracji algorytmu dołączana jest zawsze najkrótsza (pod względem liczby krawędzi) ścieżka powiększająca. W metodzie Forda-Fulkersona sposób wyznaczania ścieżki powiększającej jest dowolny.
Pojęcia
Aby zrozumieć algorytm Edmondsa-Karpa (i ogólnie metodę Forda-Fulkersona) konieczna jest znajomość następujących pojęć:
- Sieć residualna – graf skierowany, w którym każdy łuk (krawędź skierowana) informuje, o ile można zmienić (zwiększyć bądź zmniejszyć) przepływ w danym łuku sieci przepływowej. Przykład: załóżmy, że w sieci przepływowej mamy łuk prowadzący z wierzchołka A do wierzchołka B o przepustowości 5, przy czym aktualnie wykorzystujemy przepustowość 2. Zakładamy też, że sieć nie zawiera łuku prowadzącego z B do A. W takim przypadku sieć residualna będzie zawierała łuk prowadzący z A do B o wartości 3 (o tyle możemy zwiększyć przepływ) oraz łuk prowadzący z B do A o wartości 2 (o tyle możemy zmniejszyć przepływ).
- Ścieżka powiększająca – ścieżka prosta (tzn. nie przechodząca wielokrotnie przez ten sam wierzchołek) w sieci residualnej prowadząca od źródła do ujścia.
- Przepustowość residualna ścieżki powiększającej – maksymalna wartość, o którą możemy zwiększyć przepływ na ścieżce powiększającej. Jest ona równa najmniejszej spośród wag łuków należących do ścieżki powiększającej.
Przebieg algorytmu
Algorytm ten przebiega w następująco:
- Tworzymy sieć residualną,
- Wyznaczamy ścieżkę powiększającą w sieci residualnej przeszukując ją wszerz,
- Jeśli nie da się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, kończymy działanie algorytmu. W przeciwnym razie modyfikujemy przepływ w sieci przepływowej o wartość residualną ścieżki powiększającej.
Złożoność czasowa algorytmu
Wyznaczenie ścieżki za pomocą przeszukiwania wszerz ma złożoność O(e) (e jest liczbą krawędzi). Liczba wykonań głównej pętli algorytmu jest rzędu O(ne) (n jest liczbą wierzchołków). Złożoność czasowa algorytmu Edmondsa-Karpa wynosi zatem O(ne2). Wyprowadzenie tych wartości można znaleźć w książce Wprowadzenie do algorytmów.
Bibliografia
- T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012.
- A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012
Liczba głosów: 0.
- Algorytm Edmondsa-Karpa
- Metoda Forda-Fulkersona
- Metoda z zastosowaniem przepływu blokującego
Dodano: 22 listopada 2017 18:04, ostatnia edycja: 12 grudnia 2017 15:57.
Zobacz też
Wyznaczanie maksymalnego przepływu – problem obliczeniowy polegający na wyznaczeniu maksymalnego przepływu w sieci przepływowej.
Sieć przepływowa jest skierowanym grafem prostym. Każdy łuk (krawędź skierowana w grafie) ma swoją nieujemną wagę, która oznacza maksymalny dopuszczalny przepływ w tym łuku. Na potrzeby tego artykułu nazwijmy rzeczy przepływające przez sieć danymi. Jeden z wierzchołków sieci jest źródłem, z którego wypływają przesyłane dane. Inny z wierzchołków to ujście, do którego te dane wpływają. Zakłada się ponadto, że dla każdego z pozostałych wierzchołków istnieje ścieżka ze źródła do ujścia przechodząca przez ten wierzchołek.
Przepływem w sieci nazywamy przyporządkowanie każdemu łukowi pewnej wartości, która oznacza liczbę danych aktualnie przesyłanych przez ten łuk. Wartości te muszą spełniać następujące warunki:
- Wartość przyporządkowana krawędzi musi być mniejsza lub równa jej wadze (warunek przepustowości).
- Do każdego wierzchołka (poza źródłem i ujściem) musi wpływać tyle samo danych, ile z niego wypływa (warunek zachowania przepływu).
Omawiany problem polega na dobraniu takiego przepływu, aby liczba danych wypływających ze źródła (i zarazem wpływających do ujścia) była jak największa.
Stos (ang. Stack) – struktura danych, w której bezpośredni dostęp jest tylko do ostatnio dodanego elementu. Stos bywa określany także jako kolejka LIFO (z ang. Last In, First Out, czyli: ostatni na wejściu, pierwszy na wyjściu). Stos można sobie wyobrazić jako kilka rzeczy ułożonych „jedna na drugiej” – łatwo można wziąć tylko rzecz leżącą na samym wierzchu, gdyż pozostałe są przykryte.
Quicksort, sortowanie szybkie – algorytm sortowania działający w średnim przypadku w czasie liniowo-logarytmicznym. Algorytm jest oparty na metodzie dziel i zwyciężaj. Nie jest to algorytm stabilny ani wykazujący zachowanie naturalne, jednak ze względu na efektywność jest algorytmem bardzo popularnym.