Algorytm Dijkstry

Tutorial
Na ten temat mamy również tutorial „Algorytm Dijkstry”, który ilustruje działanie algorytmu krok po kroku. Zapraszamy do zapoznania się z nim!
Algorytm Dijkstry animacja (1) Wykonanie algorytmu na przykładzie
REKLAMA Algorytmy i struktury danych z przykładami w Delphi
80,00 zł
Spring w akcji. Wydanie V
89,00 zł
Excel 2019 PL. Biblia
−30%90,30 zł
Wyrażenia regularne od podstaw
39,90 zł

Algorytm Dijkstry – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek w grafie. Wyznacza najkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka (zwanego wierzchołkiem źródłowym) do pozostałych wierzchołków. Algorytm wymaga, aby wagi krawędzi grafu nie były ujemne. Autorem algorytmu jest holenderski naukowiec Edsger Dijkstra.

Algorytm realizuje podejście zachłanne. W każdej iteracji wybierany jest ten spośród nieodwiedzonych wierzchołków, do którego można dotrzeć najmniejszym kosztem. Po wyznaczeniu ścieżki do konkretnego wierzchołka nie zostanie ona zmodyfikowana w trakcie wykonywania dalszej części algorytmu.

Opis działania algorytmu

W trakcie wykonywania algorytmu dla każdego wierzchołka zostają wyznaczone dwie wartości: koszt dotarcia do tego wierzchołka oraz poprzedni wierzchołek na ścieżce. Na początku działania algorytmu dla wierzchołka źródłowego koszt dotarcia wynosi 0 (już tam jesteśmy), a dla każdego innego wierzchołka nieskończoność (w ogóle nie wiemy, jak się tam dostać). Wszystkie wierzchołki na początku znajdują się w zbiorze Q (są to wierzchołki nieprzejrzane). Następnie algorytm przebiega następująco:

  • Dopóki zbiór Q nie jest pusty:
    • Pobierz ze zbioru Q wierzchołek o najmniejszym koszcie dotarcia. Oznacz go jako v i usuń ze zbioru Q.
    • Dla każdej krawędzi wychodzącej z wierzchołka v (oznaczmy ją jako k) wykonaj następujące czynności:
      • Oznacz wierzchołek znajdujący się na drugim końcu krawędzi k jako u.
      • Jeśli koszt dotarcia do wierzchołka u z wierzchołka v poprzez krawędź k jest mniejszy od aktualnego kosztu dotarcia do wierzchołka u, to:
        • Przypisz kosztowi dotarcia do wierzchołka u koszt dotarcia do wierzchołka v powiększony o wagę krawędzi k.
        • Ustaw wierzchołek v jako poprzednik wierzchołka u.

Złożoność czasowa

Oznaczmy liczbę wierzchołków przez n, a liczbę krawędzi przez e. Każda krawędź będzie analizowana jeden raz w przypadku grafu skierowanego lub dwa razy w przypadku grafu nieskierowanego. Oprócz analizy krawędzi w trakcie wykonywania algorytmu n razy przeszukuje się zbiór Q. W przypadku przechowywania zbioru Q w zwykłej tablicy wyszukanie wierzchołka odbywa się w czasie liniowym (O(n)). Wówczas złożoność czasowa algorytmu to O(n2+e). Biorąc pod uwagę, że w przypadku braku krawędzi wielokrotnych liczba krawędzi jest zawsze mniejsza od n2, można powiedzieć, że złożoność czasowa algorytmu to O(n2).

Jeśli zbiór Q będziemy przechowywać w postaci kopca, wyszukiwanie elementu będzie się odbywało w czasie O(logn). Jednak po każdej zmianie kosztu dotarcia do wierzchołka trzeba przebudować kopiec, co również odbywa się w czasie O(logn). Złożoność obliczeniowa algorytmu wyniesie wówczas O(elogn). Dla grafów rzadkich (liczba krawędzi mniejsza pod względem rzędu wielkości od n2/logn) jest to zatem rozwiązanie szybsze, ale dla grafów gęstych – wolniejsze.

Jeśli do przechowywania zbioru Q zastosujemy kopiec Fibonacciego, złożoność obliczeniowa algorytmu zmniejszy się do O(nlogn+e).

Bibliografia

  • T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012, ISBN 9788301169114.
Ocena: +5 Tak Nie
Liczba głosów: 5.

Dodano: 17 marca 2017 15:07, ostatnia edycja: 26 stycznia 2019 17:49.

REKLAMA

Zobacz też

Przeszukiwanie w głąb (ang. depth-first search, w skrócie DFS) – jeden z dwóch podstawowych algorytmów przeszukiwania grafu. Polega na przechodzeniu zawsze do kolejnego nieodwiedzonego wierzchołka. Jeśli dany wierzchołek nie ma nieodwiedzonych sąsiadów, wracamy do poprzedniego wierzchołka i sprawdzamy jego sąsiadów. Mówiąc obrazowo, w algorytmie tym wchodzimy tak głęboko, jak to możliwe (przechodzimy dalej, dopóki się da).

Algorytm można zapisać w sposób rekurencyjny. Wywoływana rekurencyjnie procedura działa następująco: oznacz wierzchołek jako odwiedzony, a następnie wywołaj tę procedurę dla każdego sąsiada danego wierzchołka, jeśli nie został on wcześniej odwiedzony. Na początku wywołujemy procedurę dla wierzchołka początkowego.

→ Czytaj całość

Metoda Otsu – algorytm służący do binaryzacji obrazu, czyli przekształcenia obrazu w odcieniach szarości do obrazu binarnego. Metoda ta realizuje progowanie globalne – dla całego obrazu wyznaczany jest jeden próg jasności, a następnie wszystkim pikselom jaśniejszym od tego progu przypisywana jest jedna wartość, a ciemniejszym druga.

Algorytm jest oparty na analizie histogramu. Przygotowanie histogramu polega na zliczeniu pikseli w każdym możliwym odcieniu (zazwyczaj liczba odcieni wynosi 256, gdyż tyle da się zakodować w jednym bajcie). Następnie należy sprawdzić każdy możliwy próg jasności i wybrać ten, dla którego wariancja międzyklasowa jest największa (lub suma ważona wariancji wewnątrzklasowych jest najmniejsza).

Jeśli obrazem wejściowym jest obraz kolorowy, można go łatwo sprowadzić do odcieni szarości. W przypadku kolorów zakodowanych w RGB najprostszym rozwiązaniem jest uśrednienie dla każdego piksela wartości wszystkich trzech kanałów.

→ Czytaj całość

Algorytmy zachłanne (ang. greedy algorithms) – algorytmy podejmujące w każdym kroku taką decyzję, która w danej chwili wydaje się najkorzystniejsza. Inaczej mówiąc, algorytmy zachłanne dokonują zawsze wyborów lokalnie optymalnych licząc, że doprowadzi to do znalezienia rozwiązania globalnie optymalnego. W ogólnym przypadku algorytmy zachłanne nie zawsze znajdują rozwiązanie optymalne. Są one zatem podzbiorem algorytmów heurystycznych. Jednocześnie są to algorytmy deterministyczne – nie ma w nich losowości.

Bardzo prostym przykładem algorytmu zachłannego może być szukanie najwyższego punktu na określonym obszarze poprzez przesuwanie się zawsze w kierunku największego nachylenia (nigdy się nie cofając ani nie rozpatrując kilku wariantów drogi). Jak widać, w ten sposób prawdopodobnie dojdziemy do wierzchołka położonego najbliżej od punktu początkowego, który niekoniecznie będzie najwyższym.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt