Algorytm Johnsona
Algorytm Johnsona – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków w grafie. Algorytm wykorzystuje algorytm Dijkstry i algorytm Bellmana-Forda. Dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, o ile nie tworzą ujemnych cykli.
Złożoność czasowa algorytmu (jeśli algorytm Dijkstry zostanie zaimplementowany z wykorzystaniem kopca Fibonacciego) to O(n2log n + en), gdzie n jest liczbą wierzchołków, a e jest liczbą krawędzi. Dla grafów rzadkich (ze stosunkowo małą liczbą krawędzi) jest to złożoność lepsza, niż złożoność algorytmu Floyda-Warshalla.
Opis działania algorytmu
Na początku wykonujemy algorytm Bellmana-Forda w wersji z dodatkowym wierzchołkiem. W ten sposób weryfikujemy, czy graf nie zawiera ujemnych cykli. Oznaczmy odległości znalezione przez ten algorytm jako hi (i jest wybranym wierzchołkiem grafu).
Następnie trzeba zmodyfikować wagi krawędzi tak, aby pozbyć się wartości ujemnych, a jednocześnie nie zmienić optymalnych tras pomiędzy wierzchołkami. W tym celu możemy skorzystać ze wzoru k'i,j = ki,j + hi − hj, gdzie ki,j jest wagą krawędzi prowadzącej z wierzchołka i do wierzchołka j, a wartości hi i hj są rezultatami wykonania algorytmu Bellmana-Forda.
Teraz nie mamy już krawędzi o ujemnych wagach, możemy zatem wykonać algorytm Dijkstry. Algorytm ten wykonujemy n razy, za każdym razem biorąc inny wierzchołek jako źródłowy. W ten sposób znajdujemy najkrótsze ścieżki pomiędzy każdą parą wierzchołków.
Na końcu musimy odtworzyć oryginalne odległości. W tym celu korzystamy ze wzoru: di,j = d'i,j − hi + hj, gdzie d'i,j jest długością ścieżki z wierzchołka i do wierzchołka j wyznaczoną przez algorytm Dijkstry.
Bibliografia
- A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012, ISBN 9788373359383.
Liczba głosów: 5.
- Algorytm Bellmana-Forda
- Algorytm Dijkstry
- Algorytm Floyda-Warshalla
- Algorytm Johnsona
Dodano: 12 sierpnia 2017 13:55, ostatnia edycja: 30 stycznia 2019 15:53.
Zobacz też
Metoda Otsu – algorytm służący do binaryzacji obrazu, czyli przekształcenia obrazu w odcieniach szarości do obrazu binarnego. Metoda ta realizuje progowanie globalne – dla całego obrazu wyznaczany jest jeden próg jasności, a następnie wszystkim pikselom jaśniejszym od tego progu przypisywana jest jedna wartość, a ciemniejszym druga.
Algorytm jest oparty na analizie histogramu. Przygotowanie histogramu polega na zliczeniu pikseli w każdym możliwym odcieniu (zazwyczaj liczba odcieni wynosi 256, gdyż tyle da się zakodować w jednym bajcie). Następnie należy sprawdzić każdy możliwy próg jasności i wybrać ten, dla którego wariancja międzyklasowa jest największa (lub suma ważona wariancji wewnątrzklasowych jest najmniejsza).
Jeśli obrazem wejściowym jest obraz kolorowy, można go łatwo sprowadzić do odcieni szarości. W przypadku kolorów zakodowanych w RGB najprostszym rozwiązaniem jest uśrednienie dla każdego piksela wartości wszystkich trzech kanałów.
Bogosort – bardzo słaby algorytm sortowania oparty na metodzie prób i błędów. Polega na ustawianiu elementów w losowej kolejności i sprawdzaniu, czy są posortowane. Średnia złożoność tego algorytmu jest rzędu silnia, a w przypadku pesymistycznym algorytm będzie działał w nieskończoność.
Algorytm występuje też w nieco ulepszonej wersji, w której nie sprawdza się wielokrotnie tego samego ustawienia. Wówczas algorytm daje gwarancję znalezienia rozwiązania, jednak jego złożoność czasowa nadal jest rzędu silnia (w przypadku pesymistycznym trzeba sprawdzić wszystkie permutacje zbioru).
Ze względu na bardzo dużą złożoność czasową bogosort nie nadaje się do praktycznych zastosowań. Istnieją proste w implementacji, a znacznie wydajniejsze algorytmy sortujące, np. sortowanie przez wstawianie.
Matroid – struktura matematyczna składająca się z niepustego zbioru elementów E i takiej rodziny jego podzbiorów I, że spełnione są następujące warunki:
- Jeśli jakiś zbiór należy do I, to wszystkie jego podzbiory także należą do I.
- Jeśli weźmiemy dowolne dwa zbiory należące do I o różnej liczbie elementów, to jesteśmy w stanie dodać do mniejszego z nich taki element z większego (spośród tych, które nie należą do mniejszego), że utworzony w ten sposób zbiór także będzie należał do I.
Drugi warunek, zwany własnością wymiany, formalnie może być zapisany jako:
$$⋀↙{A,B∊I}↙{ |A|>|B| }⋁↙{t∊(A-B)} B∪\{t\} ∈ I$$Co istotne, rodzina zbiorów I nie musi zawierać wszystkich możliwych podzbiorów zbioru E. Ważne tylko, aby była spełniona własność wymiany. Przykładowo, dla E={a,b,c,d} prawidłową rodziną I, może być zarówno { {a,b}, {b,c}, {a}, {b}, {c}, ∅}, jak i { {a}, {b}, {c}, {d}, ∅}. Trywialnym przypadkiem poprawnego matroidu jest taki, w którym rodzina I zawiera jedynie zbiór pusty.