Algorytm Johnsona
Algorytm Johnsona – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków w grafie. Algorytm wykorzystuje algorytm Dijkstry i algorytm Bellmana-Forda. Dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, o ile nie tworzą ujemnych cykli.
Złożoność czasowa algorytmu (jeśli algorytm Dijkstry zostanie zaimplementowany z wykorzystaniem kopca Fibonacciego) to O(n2log n + en), gdzie n jest liczbą wierzchołków, a e jest liczbą krawędzi. Dla grafów rzadkich (ze stosunkowo małą liczbą krawędzi) jest to złożoność lepsza, niż złożoność algorytmu Floyda-Warshalla.
Opis działania algorytmu
Na początku wykonujemy algorytm Bellmana-Forda w wersji z dodatkowym wierzchołkiem. W ten sposób weryfikujemy, czy graf nie zawiera ujemnych cykli. Oznaczmy odległości znalezione przez ten algorytm jako hi (i jest wybranym wierzchołkiem grafu).
Następnie trzeba zmodyfikować wagi krawędzi tak, aby pozbyć się wartości ujemnych, a jednocześnie nie zmienić optymalnych tras pomiędzy wierzchołkami. W tym celu możemy skorzystać ze wzoru k'i,j = ki,j + hi − hj, gdzie ki,j jest wagą krawędzi prowadzącej z wierzchołka i do wierzchołka j, a wartości hi i hj są rezultatami wykonania algorytmu Bellmana-Forda.
Teraz nie mamy już krawędzi o ujemnych wagach, możemy zatem wykonać algorytm Dijkstry. Algorytm ten wykonujemy n razy, za każdym razem biorąc inny wierzchołek jako źródłowy. W ten sposób znajdujemy najkrótsze ścieżki pomiędzy każdą parą wierzchołków.
Na końcu musimy odtworzyć oryginalne odległości. W tym celu korzystamy ze wzoru: di,j = d'i,j − hi + hj, gdzie d'i,j jest długością ścieżki z wierzchołka i do wierzchołka j wyznaczoną przez algorytm Dijkstry.
Bibliografia
- A. Debudaj-Grabysz, S. Deorowicz, J. Widuch, Algorytmy i struktury danych. Wybór zaawansowanych metod, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2012, ISBN 9788373359383.
Liczba głosów: 6.
- Algorytm Bellmana-Forda
- Algorytm Dijkstry
- Algorytm Floyda-Warshalla
- Algorytm Johnsona
Dodano: 12 sierpnia 2017 13:55, ostatnia edycja: 30 stycznia 2019 15:53.
Zobacz też
Stos (ang. Stack) – struktura danych, w której bezpośredni dostęp jest tylko do ostatnio dodanego elementu. Stos bywa określany także jako kolejka LIFO (z ang. Last In, First Out, czyli: ostatni na wejściu, pierwszy na wyjściu). Stos można sobie wyobrazić jako kilka rzeczy ułożonych „jedna na drugiej” – łatwo można wziąć tylko rzecz leżącą na samym wierzchu, gdyż pozostałe są przykryte.
Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, w skrócie TSP) – problem obliczeniowy polegający na poszukiwaniu w grafie takiego cyklu, który zawiera wszystkie wierzchołki (każdy dokładnie raz) i ma jak najmniejszy koszt. Bardziej formalnie, problem komiwojażera polega na poszukiwaniu w grafie cyklu Hammiltona o najmniejszej wadze.
Problem ma liczne zastosowania w życiu codziennym. Najlepszym przykładem jest praca kuriera, który musi wyjechać z magazynu, zawieźć przesyłki w różne miejsca i wrócić do magazynu.
Nie jest znany efektywny (tj. działający w czasie co najwyżej wielomianowym) algorytm dający gwarancję znalezienia optymalnego rozwiązania problemu komiwojażera. Problem ten jest bowiem zaliczany do klasy problemów NP-trudnych. W wersji decyzyjnej (czy istnieje cykl o długości mniejszej od x) problem jest zaliczany do klasy problemów NP-zupełnych. W grafie pełnym mającym n wierzchołków liczba możliwych cykli Hammiltona wynosi aż (n-1)!/2. W praktyce sprawdzenie wszystkich możliwości jest zatem wykonalne tylko dla niewielkiej liczby wierzchołków.
Metoda Forda-Fulkersona – algorytm służący do wyznaczania maksymalnego przepływu. Jest to algorytm bardzo ogólny, dlatego często nie jest nazywany algorytmem, a metodą. Popularną implementacją tej metody jest algorytm Edmondsa-Karpa. Algorytm można opisać następująco:
- Wyznacz sieć residualną (opis sieci residualnej znajduje się w dalszej części artykułu).
- Znajdź w sieci residualnej dowolną ścieżkę powiększającą.
- Jeśli nie udało się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, zakończ działanie algorytmu.
- W przeciwnym razie zwiększ przepływ w sieci (w sposób opisany w dalszej części artukułu) i wróć do punktu 1.