Ten artykuł opisuje algorytm zachłanny rozwiązujący problem wydawania reszty. Algorytm ten polega na wybieraniu zawsze największej dostępnej monety, tzn. takiej, która nie jest większa od kwoty pozostałej do wydania.

Algorytm nie zawsze znajduje rozwiązanie optymalne. Przykładowo, dla zbioru nominałów {1, 3, 4} i kwoty 6 algorytm użyje najpierw monety o nominale 4 (pozostaje do wydania kwota 2), potem monety o nominale 1 (pozostaje kwota 1) i jeszcze raz monety o nominale 1. Łącznie algorytm użyje więc trzech monet, podczas gdy rozwiązanie optymalne wymaga użycia tylko dwóch (dwie monety o nominale 3).

Opis działania algorytmu

Dany jest posortowany rosnąco ciąg nominałów A=(c₁, c₂, …, c_n) oraz kwota do wydania r. Algorytm działa następująco:

1. Przypisujemy współczynnikom k₁, k₂, …, k_n wartości 0.
2. Dopóki r jest większe od zera:
   • Jeżeli r jest mniejsze od c_n, zmniejszamy n o 1.
   • W przeciwnym razie zwiększamy wartość k_n o 1 i zmniejszamy wartość r o c_n.

REKLAMA

Rozwiązania optymalne

Choć w przypadku ogólnym algorytm zachłanny nie daje rozwiązania optymalnego, to istnieją takie zbiory nominałów, dla których algorytm tę gwarancję daje. W pracy Combinatorics of the change-making problem (link w bibliografii) zaprezentowano metodę pozwalającą sprawdzić, czy dla danego ciągu nominałów algorytm zachłanny daje gwarancję znalezienia rozwiązania optymalnego niezależnie od wydawanej kwoty (takie ciągi nominałów w dalszej części artykułu będziemy określać jako „zachłanne”). Posortowany ciąg nominałów A=(c₁, c₂, …, c_n) jest „zachłanny”, jeśli są spełnione następujące warunki:

• Ciąg A′=(c₁, c₂, …, c_n-1) jest „zachłanny”.
• Liczba monet wyznaczona przez algorytm zachłanny dla ciągu nominałów A′ i kwoty mc_n-1-c_n jest mniejsza bądź równa m-1, gdzie wartość m to zaokrąglony w górę iloraz dwóch największych nominałów (c_n/c_n-1).

Dowód tego twierdzenia jest dostępny we wspomnianej pracy Combinatorics of the change-making problem. Znając powyższe warunki możemy sprawdzić kolejno zachłanność podciągów (c₁, c₂), (c₁, c₂, c₃) aż do (c₁, c₂, …, c_n).

Dla przykładu sprawdźmy, czy „zachłanny” jest ciąg nominałów (1, 2, 5, 10):

• Jednoelementowy ciąg 1 musi być „zachłanny”, gdyż dla każdej kwoty istnieje tylko jedno rozwiązanie.
• Dla ciągu (1, 2) wartość m wynosi 2. Kwota mc_n-1-c_n wynosi zatem 0. Algorytm zachłanny do wyznaczenia tej kwoty użyje 0 monet. 0 jest mniejsze niż 2-1, zatem ciąg jest „zachłanny”.
• Dla ciągu (1, 2, 5) wartość m wynosi 3. Kwota mc_n-1-c_n wynosi zatem 1. Algorytm zachłanny do wyznaczenia tej kwoty użyje 1 monety. 1 jest mniejsze niż 3-1, zatem ciąg jest „zachłanny”.
• Dla ciągu (1, 2, 5, 10) wartość m wynosi 2. Kwota mc_n-1-c_n wynosi zatem 0. Algorytm zachłanny do wyznaczenia tej kwoty użyje 0 monet. 0 jest mniejsze niż 2-1, zatem ciąg jest „zachłanny”.

Z tego twierdzenia wynikają też pewne bardziej ogólne wnioski. Zastanówmy się nad ciągami, w których każdy element ciągu jest wielokrotnością poprzedniego (kc_n-1=c_n, k > 0). Wówczas iloraz c_n/c_n-1 wynosi dokładnie k. Kwota mc_n-1-c_n wynosi wówczas 0. Do wydania kwoty 0 potrzeba 0 monet. 0 zawsze jest mniejsze bądź równe k-1. Podsumowując, jeśli w ciągu nominałów każdy element (poza pierwszym) jest wielokrotnością poprzedniego, to algorytm zachłanny będzie dawał rozwiązania optymalne.

Złożoność obliczeniowa

Dla kwoty 1 i n nominałów główna pętla programu wykona się n razy. Dla zbioru nominałów (1) i kwoty r pętla wykona się r razy. Można zatem powiedzieć, że złożoność czasowa algorytmu to O(n+r). Warto jednak zauważyć, że w praktyce algorytm może działać jeszcze szybciej – dla ustalonego r liczba wykonań pętli może wręcz maleć wraz ze wzrostem n, dopóki c_n<r. Złożoność pamięciowa algorytmu jest stała (nie zależy od n ani r).

REKLAMA

Bibliografia

• A. Adamaszek, M. Adamaszek, Combinatorics of the change-making problem, European Journal of Combinatorics, Volume 31, Issue 1, 2010, s. 47-63, DOI: 10.1016/j.ejc.2009.05.002.
• Z.J. Czech, S. Deorowicz, P. Fabian, Algorytmy i struktury danych. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2010, ISBN 9788373356689.