Problem wydawania reszty (algorytm zachłanny)

Algorytm zachłanny wydawania reszty (1) Przykład rozwiązania problemu wydawania reszty za pomocą algorytmu zachłannego. Jak widać, rozwiązanie znalezione przez algorytm nie jest rozwiązaniem optymalnym
REKLAMA Algorytmy, struktury danych i techniki programowania. Wydanie V
49,00 zł
Python. Uczenie maszynowe
69,00 zł
Architektura ewolucyjna. Projektowanie oprogramowania i wsparcie zmian
−30%41,30 zł
Mistrz czystego kodu. Kodeks postępowania profesjonalnych programistów
39,00 zł

Ten artykuł opisuje algorytm zachłanny rozwiązujący problem wydawania reszty. Algorytm ten polega na wybieraniu zawsze największej dostępnej monety, tzn. takiej, która nie jest większa od kwoty pozostałej do wydania.

Algorytm nie zawsze znajduje rozwiązanie optymalne. Przykładowo, dla zbioru nominałów {1, 3, 4} i kwoty 6 algorytm użyje najpierw monety o nominale 4 (pozostaje do wydania kwota 2), potem monety o nominale 1 (pozostaje kwota 1) i jeszcze raz monety o nominale 1. Łącznie algorytm użyje więc trzech monet, podczas gdy rozwiązanie optymalne wymaga użycia tylko dwóch (dwie monety o nominale 3).

Opis działania algorytmu

Dany jest posortowany rosnąco ciąg nominałów A=(c1, c2, …, cn) oraz kwota do wydania r. Algorytm działa następująco:

  1. Przypisujemy współczynnikom k1, k2, …, kn wartości 0.
  2. Dopóki r jest większe od zera:
    • Jeżeli r jest mniejsze od cn, zmniejszamy n o 1.
    • W przeciwnym razie zwiększamy wartość kn o 1 i zmniejszamy wartość r o cn.

Rozwiązania optymalne

Choć w przypadku ogólnym algorytm zachłanny nie daje rozwiązania optymalnego, to istnieją takie zbiory nominałów, dla których algorytm tę gwarancję daje. W pracy Combinatorics of the change-making problem (link w bibliografii) zaprezentowano metodę pozwalającą sprawdzić, czy dla danego ciągu nominałów algorytm zachłanny daje gwarancję znalezienia rozwiązania optymalnego niezależnie od wydawanej kwoty (takie ciągi nominałów w dalszej części artykułu będziemy określać jako „zachłanne”). Posortowany ciąg nominałów A=(c1, c2, …, cn) jest „zachłanny”, jeśli są spełnione następujące warunki:

  • Ciąg A′=(c1, c2, …, cn-1) jest „zachłanny”.
  • Liczba monet wyznaczona przez algorytm zachłanny dla ciągu nominałów A′ i kwoty mcn-1-cn jest mniejsza bądź równa m-1, gdzie wartość m to zaokrąglony w górę iloraz dwóch największych nominałów (cn/cn-1).

Dowód tego twierdzenia jest dostępny we wspomnianej pracy Combinatorics of the change-making problem. Znając powyższe warunki możemy sprawdzić kolejno zachłanność podciągów (c1, c2), (c1, c2, c3) aż do (c1, c2, …, cn).

Dla przykładu sprawdźmy, czy „zachłanny” jest ciąg nominałów (1, 2, 5, 10):

  • Jednoelementowy ciąg 1 musi być „zachłanny”, gdyż dla każdej kwoty istnieje tylko jedno rozwiązanie.
  • Dla ciągu (1, 2) wartość m wynosi 2. Kwota mcn-1-cn wynosi zatem 0. Algorytm zachłanny do wyznaczenia tej kwoty użyje 0 monet. 0 jest mniejsze niż 2-1, zatem ciąg jest „zachłanny”.
  • Dla ciągu (1, 2, 5) wartość m wynosi 3. Kwota mcn-1-cn wynosi zatem 1. Algorytm zachłanny do wyznaczenia tej kwoty użyje 1 monety. 1 jest mniejsze niż 3-1, zatem ciąg jest „zachłanny”.
  • Dla ciągu (1, 2, 5, 10) wartość m wynosi 2. Kwota mcn-1-cn wynosi zatem 0. Algorytm zachłanny do wyznaczenia tej kwoty użyje 0 monet. 0 jest mniejsze niż 2-1, zatem ciąg jest „zachłanny”.

Z tego twierdzenia wynikają też pewne bardziej ogólne wnioski. Zastanówmy się nad ciągami, w których każdy element ciągu jest wielokrotnością poprzedniego (kcn-1=cn, k > 0). Wówczas iloraz cn/cn-1 wynosi dokładnie k. Kwota mcn-1-cn wynosi wówczas 0. Do wydania kwoty 0 potrzeba 0 monet. 0 zawsze jest mniejsze bądź równe k-1. Podsumowując, jeśli w ciągu nominałów każdy element (poza pierwszym) jest wielokrotnością poprzedniego, to algorytm zachłanny będzie dawał rozwiązania optymalne.

Złożoność obliczeniowa

Dla kwoty 1 i n nominałów główna pętla programu wykona się n razy. Dla zbioru nominałów (1) i kwoty r pętla wykona się r razy. Można zatem powiedzieć, że złożoność czasowa algorytmu to O(n+r). Warto jednak zauważyć, że w praktyce algorytm może działać jeszcze szybciej – dla ustalonego r liczba wykonań pętli może wręcz maleć wraz ze wzrostem n, dopóki cn<r. Złożoność pamięciowa algorytmu jest stała (nie zależy od n ani r).

Bibliografia

  • A. Adamaszek, M. Adamaszek, Combinatorics of the change-making problem, European Journal of Combinatorics, Volume 31, Issue 1, 2010, s. 47-63, DOI: 10.1016/j.ejc.2009.05.002.
  • Z.J. Czech, S. Deorowicz, P. Fabian, Algorytmy i struktury danych. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2010, ISBN 9788373356689.
Ocena: +3 Tak Nie
Liczba głosów: 3.

Dodano: 6 października 2016 12:33, ostatnia edycja: 30 stycznia 2019 14:08.

REKLAMA

Zobacz też

Przeszukiwanie w głąb (ang. depth-first search, w skrócie DFS) – jeden z dwóch podstawowych algorytmów przeszukiwania grafu. Polega na przechodzeniu zawsze do kolejnego nieodwiedzonego wierzchołka. Jeśli dany wierzchołek nie ma nieodwiedzonych sąsiadów, wracamy do poprzedniego wierzchołka i sprawdzamy jego sąsiadów. Mówiąc obrazowo, w algorytmie tym wchodzimy tak głęboko, jak to możliwe (przechodzimy dalej, dopóki się da).

Algorytm można zapisać w sposób rekurencyjny. Wywoływana rekurencyjnie procedura działa następująco: oznacz wierzchołek jako odwiedzony, a następnie wywołaj tę procedurę dla każdego sąsiada danego wierzchołka, jeśli nie został on wcześniej odwiedzony. Na początku wywołujemy procedurę dla wierzchołka początkowego.

→ Czytaj całość

K-opt, algorytm k-optymalny – algorytm lokalnej optymalizacji wykorzystywany przy rozwiązywaniu problemu komiwojażera. Algorytm ten nie służy do samego wyznaczania trasy, a jedynie do ulepszania jej. Najprostszą wersją tego algorytmu jest algorytm 2-optymalny.

→ Czytaj całość

Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) – prosty algorytm sortowania polegający na wstawianiu kolejnych elementów ciągu we właściwe miejsca. Złożoności czasowa algorytmu wynosi O(n2). Jest to algorytm realizujący metodę przyrostową.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt