Problem wydawania reszty (algorytm zachłanny)

Algorytm zachłanny wydawania reszty (1) Przykład rozwiązania problemu wydawania reszty za pomocą algorytmu zachłannego. Jak widać, rozwiązanie znalezione przez algorytm nie jest rozwiązaniem optymalnym
REKLAMA Algorytmy i struktury danych z przykładami w Delphi
80,00 zł
Laravel. Wstęp do programowania aplikacji internetowych
49,00 zł
Ethereum dla zaawansowanych. Tworzenie inteligentnych kontraktów i aplikacji zdecentralizowanych
−30%55,30 zł
UXUI. Design Zoptymalizowany. Manual Book
59,00 zł

Ten artykuł opisuje algorytm zachłanny rozwiązujący problem wydawania reszty. Algorytm ten polega na wybieraniu zawsze największej dostępnej monety, tzn. takiej, która nie jest większa od kwoty pozostałej do wydania.

Algorytm nie zawsze znajduje rozwiązanie optymalne. Przykładowo, dla zbioru nominałów {1, 3, 4} i kwoty 6 algorytm użyje najpierw monety o nominale 4 (pozostaje do wydania kwota 2), potem monety o nominale 1 (pozostaje kwota 1) i jeszcze raz monety o nominale 1. Łącznie algorytm użyje więc trzech monet, podczas gdy rozwiązanie optymalne wymaga użycia tylko dwóch (dwie monety o nominale 3).

Opis działania algorytmu

Dany jest posortowany rosnąco ciąg nominałów A=(c1, c2, …, cn) oraz kwota do wydania r. Algorytm działa następująco:

  1. Przypisujemy współczynnikom k1, k2, …, kn wartości 0.
  2. Dopóki r jest większe od zera:
    • Jeżeli r jest mniejsze od cn, zmniejszamy n o 1.
    • W przeciwnym razie zwiększamy wartość kn o 1 i zmniejszamy wartość r o cn.

Rozwiązania optymalne

Choć w przypadku ogólnym algorytm zachłanny nie daje rozwiązania optymalnego, to istnieją takie zbiory nominałów, dla których algorytm tę gwarancję daje. W pracy Combinatorics of the change-making problem (link w bibliografii) zaprezentowano metodę pozwalającą sprawdzić, czy dla danego ciągu nominałów algorytm zachłanny daje gwarancję znalezienia rozwiązania optymalnego niezależnie od wydawanej kwoty (takie ciągi nominałów w dalszej części artykułu będziemy określać jako „zachłanne”). Posortowany ciąg nominałów A=(c1, c2, …, cn) jest „zachłanny”, jeśli są spełnione następujące warunki:

  • Ciąg A′=(c1, c2, …, cn-1) jest „zachłanny”.
  • Liczba monet wyznaczona przez algorytm zachłanny dla ciągu nominałów A′ i kwoty mcn-1-cn jest mniejsza bądź równa m-1, gdzie wartość m to zaokrąglony w górę iloraz dwóch największych nominałów (cn/cn-1).

Dowód tego twierdzenia jest dostępny we wspomnianej pracy Combinatorics of the change-making problem. Znając powyższe warunki możemy sprawdzić kolejno zachłanność podciągów (c1, c2), (c1, c2, c3) aż do (c1, c2, …, cn).

Dla przykładu sprawdźmy, czy „zachłanny” jest ciąg nominałów (1, 2, 5, 10):

  • Jednoelementowy ciąg 1 musi być „zachłanny”, gdyż dla każdej kwoty istnieje tylko jedno rozwiązanie.
  • Dla ciągu (1, 2) wartość m wynosi 2. Kwota mcn-1-cn wynosi zatem 0. Algorytm zachłanny do wyznaczenia tej kwoty użyje 0 monet. 0 jest mniejsze niż 2-1, zatem ciąg jest „zachłanny”.
  • Dla ciągu (1, 2, 5) wartość m wynosi 3. Kwota mcn-1-cn wynosi zatem 1. Algorytm zachłanny do wyznaczenia tej kwoty użyje 1 monety. 1 jest mniejsze niż 3-1, zatem ciąg jest „zachłanny”.
  • Dla ciągu (1, 2, 5, 10) wartość m wynosi 2. Kwota mcn-1-cn wynosi zatem 0. Algorytm zachłanny do wyznaczenia tej kwoty użyje 0 monet. 0 jest mniejsze niż 2-1, zatem ciąg jest „zachłanny”.

Z tego twierdzenia wynikają też pewne bardziej ogólne wnioski. Zastanówmy się nad ciągami, w których każdy element ciągu jest wielokrotnością poprzedniego (kcn-1=cn, k > 0). Wówczas iloraz cn/cn-1 wynosi dokładnie k. Kwota mcn-1-cn wynosi wówczas 0. Do wydania kwoty 0 potrzeba 0 monet. 0 zawsze jest mniejsze bądź równe k-1. Podsumowując, jeśli w ciągu nominałów każdy element (poza pierwszym) jest wielokrotnością poprzedniego, to algorytm zachłanny będzie dawał rozwiązania optymalne.

Złożoność obliczeniowa

Dla kwoty 1 i n nominałów główna pętla programu wykona się n razy. Dla zbioru nominałów (1) i kwoty r pętla wykona się r razy. Można zatem powiedzieć, że złożoność czasowa algorytmu to O(n+r). Warto jednak zauważyć, że w praktyce algorytm może działać jeszcze szybciej – dla ustalonego r liczba wykonań pętli może wręcz maleć wraz ze wzrostem n, dopóki cn<r. Złożoność pamięciowa algorytmu jest stała (nie zależy od n ani r).

Bibliografia

  • A. Adamaszek, M. Adamaszek, Combinatorics of the change-making problem, European Journal of Combinatorics, Volume 31, Issue 1, 2010, s. 47-63, DOI: 10.1016/j.ejc.2009.05.002.
  • Z.J. Czech, S. Deorowicz, P. Fabian, Algorytmy i struktury danych. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2010, ISBN 9788373356689.
Ocena: +3 Tak Nie
Liczba głosów: 3.

Dodano: 6 października 2016 12:33, ostatnia edycja: 30 stycznia 2019 14:08.

REKLAMA

Zobacz też

2-opt, algorytm 2-optymalny – algorytm lokalnej optymalizacji wykorzystywany przy rozwiązywaniu problemu komiwojażera. Jest to szczególny przypadek algorytmu k-optymalnego.

Algorytm 2-opt nie służy do wyznaczania trasy, a jedynie do ulepszania jej. Samą trasę można wyznaczyć np. za pomocą algorytmu najbliższego sąsiada. Algorytm może być wykorzystany do ulepszenia algorytmu genetycznego – w ten sposób powstanie algorytm memetyczny.

→ Czytaj całość

Kolejka (ang. Queue) – struktura danych, w której elementy pobierane są z początku, a dodawane na końcu. Z kolejki można zatem pobrać tylko ten element, który był dodany najwcześniej. Kolejka bywa określana również jako kolejka FIFO (z ang. First In, First Out), w odróżnieniu od kolejki LIFO, czyli stosu.

→ Czytaj całość

Wyznaczanie najkrótszej ścieżki – zagadnienie polegające na wyszkaniu w grafie takiej ścieżki łączącej dwa wierzchołki, której suma wag krawędzi jest jak najmniejsza.

W przypadku pesymistycznym do wyznaczenia optymalnej ścieżki z wierzchołka A do wierzchołka B konieczne jest wyznaczenie najkrótszych ścieżek z wierzchołka A do wszystkich pozostałych wierzchołków w grafie. Zagadnienie takie jest określane jako poszukiwanie najkrótszych ścieżek z jednego źródła. Do rozwiązywania tego zagadnienia można wykorzystać następujące algorytmy:

Nieco innym zagadnieniem jest poszukiwanie najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków. W tym celu można wykorzystać algorytmy wymienione powyżej (wykonując je wielokrotnie, za każdym razem przyjmując inny wierzchołek źródłowy) lub algorytmy poszukujące od razu wszystkich ścieżek, takie jak:

Aby znalezienie najkrótszej ścieżki było możliwe, graf nie może zawierać ujemnych cykli osiągalnych z wierzchołka źródłowego. Jeśli taki cykl istnieje, to poruszając się nim „w kółko” cały czas zmniejszamy długość ścieżki. Dopuszczalne jest natomiast występowanie krawędzi o ujemnej wadze, choć nie wszystkie algorytmy dopuszczają ten przypadek.

Jeśli poszukujemy ścieżek o najmniejszej liczbie krawędzi (np. wtedy, gdy wszystkie krawędzie mają taką samą, dodatnią wagę), to zamiast powyższych algorytmów możemy skorzystać z prostego przeszukiwania grafu wszerz.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt