Algorytm Kruskala

Minimalne drzewo rozpinające, tworzenie (1) Przykładowe wykonania algorytmu Kruskala
Matroid MST (2) Reprezentacja problemu minimalnego drzewa rozpinającego za pomocą matroidu (kliknij ilustrację, aby powiększyć)

Algorytm Kruskala – algorytm wyznaczający minimalne drzewo rozpinające. Algorytm ten wykorzystuje strategię zachłanną, zawsze zwraca rozwiązanie optymalne.

Działanie algorytmu

Algorytm polega na dołączaniu do rozwiązania kolejno najkrótszych możliwych krawędzi, aż do otrzymania drzewa rozpinającego. Algorytm ten można bardziej formalnie zapisać następująco:

  1. Posortuj krawędzie rosnąco według ich wag, umieść je w kolejce.
  2. Pobierz z kolejki krawędź o najmniejszej wadze, usuń ją z kolejki.
  3. Jeśli wierzchołki łączone przez tę krawędź należą do różnych drzew (wówczas dołączenie krawędzi nie spowoduje utworzenia cyklu), dołącz krawędź do rozwiązania.
  4. Jeśli liczba krawędzi dołączonych do rozwiązania wynosi v-1 (v jest liczbą wierzchołków), zakończ działanie algorytmu. W przeciwnym razie przejdź do punktu 2.

Główna pętla algorytmu wykona się maksymalnie e razy (e jest liczbą krawędzi). W trakcie każdego przebiegu pętli trzeba jednak sprawdzić, czy daną krawędź można dołączyć do rozwiązania. Złożoność obliczeniowa algorytmu zależy od sposobu implementacji sprawdzania tego warunku, a także od sposobu sortowania kolejki krawędzi.

Aby sprawdzać, czy wierzchołki należą do różnych drzew, możemy wykorzystać zbiory wierzchołków. Na początku każdy wierzchołek będzie w osobnym zbiorze. Za każdym razem przed dołączeniem krawędzi sprawdzamy, czy wierzchołki znajdują się w różnych zbiorach. Jeśli tak, krawędź dołączamy do rozwiązania, a te dwa zbiory scalamy.

Zwracanie rozwiązań optymalnych

Algorytm Kruskala (pomimo, że jako algorytm zachłanny zalicza się do heurystyk) zawsze zwraca rozwiązanie optymalne. Problem wyznaczania minimalnego drzewa rozpinającego można przedstawić za pomocą matroidu – przykład jest pokazany na rysunku (2). Udowodniono, że w takim przypadku podejście zachłanne daje gwarancję znalezienia rozwiązania optymalnego. Pełen dowód jest dostępny w książce [1].

Bibliografia

  • T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012, ISBN 9788301169114.
Ocena: 0 Tak Nie
Liczba głosów: 0.

Dodano: 5 kwietnia 2017 12:16, ostatnia edycja: 24 kwietnia 2020 19:28.

REKLAMA

Zobacz też

Metoda Forda-Fulkersona – algorytm służący do wyznaczania maksymalnego przepływu. Jest to algorytm bardzo ogólny, dlatego często nie jest nazywany algorytmem, a metodą. Popularną implementacją tej metody jest algorytm Edmondsa-Karpa. Algorytm można opisać następująco:

  1. Wyznacz sieć residualną (opis sieci residualnej znajduje się w dalszej części artykułu).
  2. Znajdź w sieci residualnej dowolną ścieżkę powiększającą.
  3. Jeśli nie udało się wyznaczyć żadnej ścieżki powiększającej, zakończ działanie algorytmu.
  4. W przeciwnym razie zwiększ przepływ w sieci (w sposób opisany w dalszej części artukułu) i wróć do punktu 1.
→ Czytaj całość

Algorytm Zhanga-Suena – algorytm służący do szkieletyzacji obrazu binarnego. Szkieletyzacja polega na wyborze z obrazu binarnego tych pikseli, które są równo odległe od krawędzi obiektu.

→ Czytaj całość

Algorytm Johnsona – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków w grafie. Algorytm wykorzystuje algorytm Dijkstry i algorytm Bellmana-Forda. Dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, o ile nie tworzą ujemnych cykli.

Złożoność czasowa algorytmu (jeśli algorytm Dijkstry zostanie zaimplementowany z wykorzystaniem kopca Fibonacciego) to O(n2log n + en), gdzie n jest liczbą wierzchołków, a e jest liczbą krawędzi. Dla grafów rzadkich (ze stosunkowo małą liczbą krawędzi) jest to złożoność lepsza, niż złożoność algorytmu Floyda-Warshalla.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt