Algorytm Kruskala

Minimalne drzewo rozpinające, tworzenie (1) Przykładowe wykonania algorytmu Kruskala

Algorytm Kruskala – algorytm wyznaczający minimalne drzewo rozpinające. Algorytm ten wykorzystuje strategię zachłanną.

Działanie algorytmu

Algorytm polega na dołączaniu do rozwiązania kolejno najkrótszych możliwych krawędzi, aż do otrzymania drzewa rozpinającego. W ten sposób zawsze otrzymamy rozwiązanie optymalne (dowód jest dostępny w książce podanej w bibliografii). Algorytm ten można bardziej formalnie zapisać następująco:

  1. Posortuj krawędzie rosnąco według ich wag, umieść je w kolejce.
  2. Pobierz z kolejki krawędź o najmniejszej wadze, usuń ją z kolejki.
  3. Jeśli wierzchołki łączone przez tę krawędź należą do różnych drzew (wówczas dołączenie krawędzi nie spowoduje utworzenia cyklu), dołącz krawędź do rozwiązania.
  4. Jeśli liczba krawędzi dołączonych do rozwiązania wynosi v-1 (v jest liczbą wierzchołków), zakończ działanie algorytmu. W przeciwnym razie przejdź do punktu 2.

Główna pętla algorytmu wykona się maksymalnie e razy (e jest liczbą krawędzi). W trakcie każdego przebiegu pętli trzeba jednak sprawdzić, czy daną krawędź można dołączyć do rozwiązania. Złożoność obliczeniowa algorytmu zależy od sposobu implementacji sprawdzania tego warunku, a także od sposobu sortowania kolejki krawędzi.

Aby sprawdzać, czy wierzchołki należą do różnych drzew, możemy wykorzystać zbiory wierzchołków. Na początku każdy wierzchołek będzie w osobnym zbiorze. Za każdym razem przed dołączeniem krawędzi sprawdzamy, czy wierzchołki znajdują się w różnych zbiorach. Jeśli tak, krawędź dołączamy do rozwiązania, a te dwa zbiory scalamy.

Bibliografia

  • T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012, ISBN 9788301169114.
Ocena: 0 Tak Nie
Liczba głosów: 0.

Dodano: 5 kwietnia 2017 12:16, ostatnia edycja: 30 stycznia 2019 15:39.

REKLAMA

Zobacz też

Algorytm memetyczny – algorytm będący połączeniem algorytmu genetycznego i metod lokalnej optymalizacji. Czasami określany również jako hybrydowy algorytm ewolucyjny.

→ Czytaj całość

Algorytm Floyda-Warshalla – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków w grafie. Jest to algorytm oparty na programowaniu dynamicznym. Algorytm ma złożoność czasową O(n3) i złożoność pamięciową O(n2), gdzie n jest liczbą wierzchołków.

Algorytm dopuszcza krawędzie o ujemnych wagach, o ile nie tworzą ujemnych cykli. Algorytm może być również wykorzystywany do wyszukiwania ujemnych cykli w grafie.

→ Czytaj całość

Wyznaczanie najkrótszej ścieżki – zagadnienie polegające na wyszkaniu w grafie takiej ścieżki łączącej dwa wierzchołki, której suma wag krawędzi jest jak najmniejsza.

W przypadku pesymistycznym do wyznaczenia optymalnej ścieżki z wierzchołka A do wierzchołka B konieczne jest wyznaczenie najkrótszych ścieżek z wierzchołka A do wszystkich pozostałych wierzchołków w grafie. Zagadnienie takie jest określane jako poszukiwanie najkrótszych ścieżek z jednego źródła. Do rozwiązywania tego zagadnienia można wykorzystać następujące algorytmy:

Nieco innym zagadnieniem jest poszukiwanie najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków. W tym celu można wykorzystać algorytmy wymienione powyżej (wykonując je wielokrotnie, za każdym razem przyjmując inny wierzchołek źródłowy) lub algorytmy poszukujące od razu wszystkich ścieżek, takie jak:

Aby znalezienie najkrótszej ścieżki było możliwe, graf nie może zawierać ujemnych cykli osiągalnych z wierzchołka źródłowego. Jeśli taki cykl istnieje, to poruszając się nim „w kółko” cały czas zmniejszamy długość ścieżki. Dopuszczalne jest natomiast występowanie krawędzi o ujemnej wadze, choć nie wszystkie algorytmy dopuszczają ten przypadek.

Jeśli poszukujemy ścieżek o najmniejszej liczbie krawędzi (np. wtedy, gdy wszystkie krawędzie mają taką samą, dodatnią wagę), to zamiast powyższych algorytmów możemy skorzystać z prostego przeszukiwania grafu wszerz.

→ Czytaj całość
Polityka prywatnościKontakt