Matroid – struktura matematyczna składająca się z niepustego zbioru elementów E i takiej rodziny jego podzbiorów I, że spełnione są następujące warunki:
Drugi warunek, zwany własnością wymiany, formalnie może być zapisany jako:
$$⋀↙{A,B∊I}↙{ |A|>|B| }⋁↙{t∊(A-B)} B∪\{t\} ∈ I$$Co istotne, rodzina zbiorów I nie musi zawierać wszystkich możliwych podzbiorów zbioru E. Ważne tylko, aby była spełniona własność wymiany. Przykładowo, dla E={a,b,c,d} prawidłową rodziną I, może być zarówno { {a,b}, {b,c}, {a}, {b}, {c}, ∅}, jak i { {a}, {b}, {c}, {d}, ∅}. Trywialnym przypadkiem poprawnego matroidu jest taki, w którym rodzina I zawiera jedynie zbiór pusty.
Zbiory należące do I określane są jako zbiory niezależne. Zbiór niezależny o największej liczbie elementów to baza matroidu. Matroid może mieć wiele baz. W pierwszym wspomnianym wcześniej przykładzie bazami są zbiory {a,b} i {b,c}, w drugim zaś zbiory {a}, {b}, {c}, {d}.
Jeśli każdy element zbioru E ma przyporządkowaną dodatnią liczbę (wagę), to taki matroid jest określany jako matroid ważony. Każdemu zbiorowi niezależnemu również można wtedy przyporządkować wagę, będącą sumą wag wszystkich należących do niego elementów. Dla matroidów grafowych (tzn. takich, w których elementy zbioru E są krawędziami grafu), wagą może być długość krawędzi.
Więcej pojęć związanych z matroidami można znaleźć w książce [1].
Matroidy ważone mają duże zastosowanie przy ocenie skuteczności algorytmów zachłannych. Udowodniono, że jeśli problem obliczeniowy da się przedstawić za pomocą matroidu ważonego, to algorytm zachłanny zawsze zwróci rozwiązanie optymalne (dowód jest dostępny w książce [2]). W takim przypadku, jeśli do naszego rozwiązania będziemy zawsze dodawać ten spośród dostępnych elementów zbioru E, który ma największą wagę, to otrzymamy bazę matroidu o największej wadze spośród wszystkich baz. Przykładem takiego algorytmu jest algorytm Kruskala.
Dodano: 24 kwietnia 2020 13:50, ostatnia edycja: 24 kwietnia 2020 18:28.
Algorytm Kruskala – algorytm wyznaczający minimalne drzewo rozpinające. Algorytm ten wykorzystuje strategię zachłanną, zawsze zwraca rozwiązanie optymalne.
Algorytm Dijkstry – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek w grafie. Wyznacza najkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka (zwanego wierzchołkiem źródłowym) do pozostałych wierzchołków. Algorytm wymaga, aby wagi krawędzi grafu nie były ujemne. Autorem algorytmu jest holenderski naukowiec Edsger Dijkstra.
Algorytm realizuje podejście zachłanne. W każdej iteracji wybierany jest ten spośród nieodwiedzonych wierzchołków, do którego można dotrzeć najmniejszym kosztem. Po wyznaczeniu ścieżki do konkretnego wierzchołka nie zostanie ona zmodyfikowana w trakcie wykonywania dalszej części algorytmu.
Rekurencja (inaczej rekursja) – odwołanie się funkcji lub definicji do samej siebie. Mówiąc inaczej, podejście rekurencyjne polega na tym, że rozwiązanie problemu wyraża się za pomocą rozwiązania tego samego problemu dla mniejszych danych wejściowych. Stosowanie rekurencji jest charakterystyczne dla algorytmów projektowanych metodą dziel i zwyciężaj.
Typowym problemem, dla którego można zastosować rekurencję, jest obliczanie silni. Przypomnijmy, że silnia z n jest zdefiniowana jako n!=1×2×…×n. Funkcja ta może być równoważnie zapisana jako:
n!=(n−1)!×n, dla n>0,
n!=1, dla n=0.
W powyższym przykładzie górny wiersz jest ogólnym równaniem rekurencji, zaś dolny wiersz jest wartością brzegową. W języku C++ powyższa funkcja byłaby zapisana w poniższy sposób.
int silnia(int n) { if (n > 0) { return n * silnia(n-1); } else { return 1; } };
Przekształcenie postaci rekurencyjnej funkcji do postaci zwartej (tzn. takiej, która nie zawiera odwołania do samej siebie) jest określane jako rozwiązanie rekurencji. Metody rozwiązywania rekurencji są dostępne między innymi w książkach podanych w bibliografii.
Algorytmy stosujące rekurencję są zazwyczaj proste w implementacji. Jednocześnie wiążą się one z pewnymi problemami. Przy podejściu rekurencyjnym ta sama funkcja jest wywoływana wielokrotnie, co zużywa pamięć operacyjną (w skrajnych przypadkach może to spowodować przepełnienie stosu).