Matroid
(1) Własność wymiany: biorąc dwa zbiory niezależne o różnej liczbie elementów jesteśmy w stanie dodać do mniejszego z nich taki element z większego, że otrzymany zbiór także będzie należał do rodziny zbiorów niezależnych. W tym przypadku zbiorami niezależnymi są lasy rozpinające
(2) Reprezentacja problemu minimalnego drzewa rozpinającego za pomocą matroidu (kliknij ilustrację, aby powiększyć)
(3) Przykład niespełnionej własności wymiany przy próbie przedstawiania problemu komiwojażera za pomocą matroidu. Zbiory 3 i 4 są podzbiorami poprawnych rozwiązań, więc musiałyby być zbiorami niezależnymi. Nie da się jednak do zbioru 3 dodać elementu zbioru 4 w taki sposób, aby uzyskać inny zbiór niezależny
Matroid – struktura matematyczna składająca się z niepustego zbioru elementów E i takiej rodziny jego podzbiorów I, że spełnione są następujące warunki:
- Jeśli jakiś zbiór należy do I, to wszystkie jego podzbiory także należą do I.
- Jeśli weźmiemy dowolne dwa zbiory należące do I o różnej liczbie elementów, to jesteśmy w stanie dodać do mniejszego z nich taki element z większego (spośród tych, które nie należą do mniejszego), że utworzony w ten sposób zbiór także będzie należał do I.
Drugi warunek, zwany własnością wymiany, formalnie może być zapisany jako:
$$⋀↙{A,B∊I}↙{ |A|>|B| }⋁↙{t∊(A-B)} B∪\{t\} ∈ I$$Co istotne, rodzina zbiorów I nie musi zawierać wszystkich możliwych podzbiorów zbioru E. Ważne tylko, aby była spełniona własność wymiany. Przykładowo, dla E={a,b,c,d} prawidłową rodziną I, może być zarówno { {a,b}, {b,c}, {a}, {b}, {c}, ∅}, jak i { {a}, {b}, {c}, {d}, ∅}. Trywialnym przypadkiem poprawnego matroidu jest taki, w którym rodzina I zawiera jedynie zbiór pusty.
Wybrane pojęcia
Zbiory należące do I określane są jako zbiory niezależne. Zbiór niezależny o największej liczbie elementów to baza matroidu. Matroid może mieć wiele baz. W pierwszym wspomnianym wcześniej przykładzie bazami są zbiory {a,b} i {b,c}, w drugim zaś zbiory {a}, {b}, {c}, {d}.
Jeśli każdy element zbioru E ma przyporządkowaną dodatnią liczbę (wagę), to taki matroid jest określany jako matroid ważony. Każdemu zbiorowi niezależnemu również można wtedy przyporządkować wagę, będącą sumą wag wszystkich należących do niego elementów. Dla matroidów grafowych (tzn. takich, w których elementy zbioru E są krawędziami grafu), wagą może być długość krawędzi.
Więcej pojęć związanych z matroidami można znaleźć w książce [1].
Matroidy a algorytmy zachłanne
Matroidy ważone mają duże zastosowanie przy ocenie skuteczności algorytmów zachłannych. Udowodniono, że jeśli problem obliczeniowy da się przedstawić za pomocą matroidu ważonego, to algorytm zachłanny zawsze zwróci rozwiązanie optymalne (dowód jest dostępny w książce [2]). W takim przypadku, jeśli do naszego rozwiązania będziemy zawsze dodawać ten spośród dostępnych elementów zbioru E, który ma największą wagę, to otrzymamy bazę matroidu o największej wadze spośród wszystkich baz. Przykładem takiego algorytmu jest algorytm Kruskala.
Bibliografia
- R.J. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012, ISBN 9788301150662.
- T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012, ISBN 9788301169114.
Liczba głosów: 3.
Dodano: 24 kwietnia 2020 13:50, ostatnia edycja: 24 kwietnia 2020 18:28.
Zobacz też
Ten artykuł opisuje algorytm zachłanny rozwiązujący problem wydawania reszty. Algorytm ten polega na wybieraniu zawsze największej dostępnej monety, tzn. takiej, która nie jest większa od kwoty pozostałej do wydania.
Algorytm nie zawsze znajduje rozwiązanie optymalne. Przykładowo, dla zbioru nominałów {1, 3, 4} i kwoty 6 algorytm użyje najpierw monety o nominale 4 (pozostaje do wydania kwota 2), potem monety o nominale 1 (pozostaje kwota 1) i jeszcze raz monety o nominale 1. Łącznie algorytm użyje więc trzech monet, podczas gdy rozwiązanie optymalne wymaga użycia tylko dwóch (dwie monety o nominale 3).
Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, w skrócie TSP) – problem obliczeniowy polegający na poszukiwaniu w grafie takiego cyklu, który zawiera wszystkie wierzchołki (każdy dokładnie raz) i ma jak najmniejszy koszt. Bardziej formalnie, problem komiwojażera polega na poszukiwaniu w grafie cyklu Hammiltona o najmniejszej wadze.
Problem ma liczne zastosowania w życiu codziennym. Najlepszym przykładem jest praca kuriera, który musi wyjechać z magazynu, zawieźć przesyłki w różne miejsca i wrócić do magazynu.
Nie jest znany efektywny (tj. działający w czasie co najwyżej wielomianowym) algorytm dający gwarancję znalezienia optymalnego rozwiązania problemu komiwojażera. Problem ten jest bowiem zaliczany do klasy problemów NP-trudnych. W wersji decyzyjnej (czy istnieje cykl o długości mniejszej od x) problem jest zaliczany do klasy problemów NP-zupełnych. W grafie pełnym mającym n wierzchołków liczba możliwych cykli Hammiltona wynosi aż (n-1)!/2. W praktyce sprawdzenie wszystkich możliwości jest zatem wykonalne tylko dla niewielkiej liczby wierzchołków.
Drzewo decyzyjne – metoda graficzna wspierająca podejmowanie decyzji, jak również model stosowany w uczeniu maszynowym do klasyfikacji lub regresji.
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem drzewa decyzyjnego odbywa się poprzez odpowiadanie na kolejne pytania. Pojedyncze pytanie musi być proste i dotyczyć jednego konkretnego atrybutu. Pytania ułożone są w strukturę hierarchiczną – wybór następnego pytania (lub końcowej decyzji) zależy od odpowiedzi udzielonej na poprzednie.
Proste drzewo decyzyjne może być w pełni zaprojektowane już przy tworzeniu programu i zaimplementowane w kodzie np. za pomocą instrukcji warunkowych. W uczeniu maszynowym drzewo jest generowane automatycznie na podstawie próbek ze zbioru uczącego.