Matroid
(1) Własność wymiany: biorąc dwa zbiory niezależne o różnej liczbie elementów jesteśmy w stanie dodać do mniejszego z nich taki element z większego, że otrzymany zbiór także będzie należał do rodziny zbiorów niezależnych. W tym przypadku zbiorami niezależnymi są lasy rozpinające
(2) Reprezentacja problemu minimalnego drzewa rozpinającego za pomocą matroidu (kliknij ilustrację, aby powiększyć)
(3) Przykład niespełnionej własności wymiany przy próbie przedstawiania problemu komiwojażera za pomocą matroidu. Zbiory 3 i 4 są podzbiorami poprawnych rozwiązań, więc musiałyby być zbiorami niezależnymi. Nie da się jednak do zbioru 3 dodać elementu zbioru 4 w taki sposób, aby uzyskać inny zbiór niezależny
Matroid – struktura matematyczna składająca się z niepustego zbioru elementów E i takiej rodziny jego podzbiorów I, że spełnione są następujące warunki:
- Jeśli jakiś zbiór należy do I, to wszystkie jego podzbiory także należą do I.
- Jeśli weźmiemy dowolne dwa zbiory należące do I o różnej liczbie elementów, to jesteśmy w stanie dodać do mniejszego z nich taki element z większego (spośród tych, które nie należą do mniejszego), że utworzony w ten sposób zbiór także będzie należał do I.
Drugi warunek, zwany własnością wymiany, formalnie może być zapisany jako:
$$⋀↙{A,B∊I}↙{ |A|>|B| }⋁↙{t∊(A-B)} B∪\{t\} ∈ I$$Co istotne, rodzina zbiorów I nie musi zawierać wszystkich możliwych podzbiorów zbioru E. Ważne tylko, aby była spełniona własność wymiany. Przykładowo, dla E={a,b,c,d} prawidłową rodziną I, może być zarówno { {a,b}, {b,c}, {a}, {b}, {c}, ∅}, jak i { {a}, {b}, {c}, {d}, ∅}. Trywialnym przypadkiem poprawnego matroidu jest taki, w którym rodzina I zawiera jedynie zbiór pusty.
Wybrane pojęcia
Zbiory należące do I określane są jako zbiory niezależne. Zbiór niezależny o największej liczbie elementów to baza matroidu. Matroid może mieć wiele baz. W pierwszym wspomnianym wcześniej przykładzie bazami są zbiory {a,b} i {b,c}, w drugim zaś zbiory {a}, {b}, {c}, {d}.
Jeśli każdy element zbioru E ma przyporządkowaną dodatnią liczbę (wagę), to taki matroid jest określany jako matroid ważony. Każdemu zbiorowi niezależnemu również można wtedy przyporządkować wagę, będącą sumą wag wszystkich należących do niego elementów. Dla matroidów grafowych (tzn. takich, w których elementy zbioru E są krawędziami grafu), wagą może być długość krawędzi.
Więcej pojęć związanych z matroidami można znaleźć w książce [1].
Matroidy a algorytmy zachłanne
Matroidy ważone mają duże zastosowanie przy ocenie skuteczności algorytmów zachłannych. Udowodniono, że jeśli problem obliczeniowy da się przedstawić za pomocą matroidu ważonego, to algorytm zachłanny zawsze zwróci rozwiązanie optymalne (dowód jest dostępny w książce [2]). W takim przypadku, jeśli do naszego rozwiązania będziemy zawsze dodawać ten spośród dostępnych elementów zbioru E, który ma największą wagę, to otrzymamy bazę matroidu o największej wadze spośród wszystkich baz. Przykładem takiego algorytmu jest algorytm Kruskala.
Bibliografia
- R.J. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012, ISBN 9788301150662.
- T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012, ISBN 9788301169114.
Liczba głosów: 0.
Dodano: 24 kwietnia 2020 13:50, ostatnia edycja: 24 kwietnia 2020 18:28.
Zobacz też
Wyznaczanie najkrótszej ścieżki – zagadnienie polegające na wyszkaniu w grafie takiej ścieżki łączącej dwa wierzchołki, której suma wag krawędzi jest jak najmniejsza.
W przypadku pesymistycznym do wyznaczenia optymalnej ścieżki z wierzchołka A do wierzchołka B konieczne jest wyznaczenie najkrótszych ścieżek z wierzchołka A do wszystkich pozostałych wierzchołków w grafie. Zagadnienie takie jest określane jako poszukiwanie najkrótszych ścieżek z jednego źródła. Do rozwiązywania tego zagadnienia można wykorzystać następujące algorytmy:
Nieco innym zagadnieniem jest poszukiwanie najkrótszych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków. W tym celu można wykorzystać algorytmy wymienione powyżej (wykonując je wielokrotnie, za każdym razem przyjmując inny wierzchołek źródłowy) lub algorytmy poszukujące od razu wszystkich ścieżek, takie jak:
Aby znalezienie najkrótszej ścieżki było możliwe, graf nie może zawierać ujemnych cykli osiągalnych z wierzchołka źródłowego. Jeśli taki cykl istnieje, to poruszając się nim „w kółko” cały czas zmniejszamy długość ścieżki. Dopuszczalne jest natomiast występowanie krawędzi o ujemnej wadze, choć nie wszystkie algorytmy dopuszczają ten przypadek.
Jeśli poszukujemy ścieżek o najmniejszej liczbie krawędzi (np. wtedy, gdy wszystkie krawędzie mają taką samą, dodatnią wagę), to zamiast powyższych algorytmów możemy skorzystać z prostego przeszukiwania grafu wszerz.
Metoda przyrostowa – technika projektowania algorytmów polegająca na dodawaniu do rozwiązania kolejnych elementów z danych wejściowych. Przykładem algorytmu opartego na tej metodzie jest sortowanie przez wstawianie, gdzie kolejne elementy są wstawiane do posortowanej części tablicy.
Jest to metoda prosta, jednak sprawdza się tylko dla niektórych problemów obliczeniowych.
Algorytm heurystyczny, heurystyka – algorytm niedający (w ogólnym przypadku) gwarancji znalezienia rozwiązania optymalnego, umożliwiający jednak znalezienie rozwiązania dość dobrego w rozsądnym czasie. Algorytmy tego typu używane są w takich problemach obliczeniowych, gdzie znalezienie rozwiązania optymalnego ma zbyt dużą złożoność obliczeniową (w szczególności są to problemy NP-trudne) lub w ogóle nie jest możliwe. Metody heurystyczne zaliczają się do sztucznej inteligencji.
Pojęcie algorytmów heurystycznych jest bardzo szerokie, dotyczy ono różnych technik projektowania algorytmów. Wiele heurystyk wykorzystuje losowość, inne zaś są deterministyczne (wówczas dla takich samych danych wejściowych algorytm zawsze zwróci ten sam wynik).
Ogólny algorytm heurystyczny (opisujący samą ideę poszukiwań) bywa określany w literaturze jako metaheurystyka. Zgodnie z tym nazewnictwem, metaheurystyką jest np. algorytm zachłanny (jako ogólna idea), zaś heurystyką jest np. algorytm najbliższego sąsiada (jako zastosowanie idei algorytmu zachłannego do konkretnego problemu).
Przykładowe techniki konstruowania algorytmów heurystycznych to:
- przeszukiwanie lokalne,
- algorytmy zachłanne,
- symulowane wyżarzanie,
- przeszukiwanie tabu,
- algorytmy genetyczne.