Quicksort, sortowanie szybkie – algorytm sortowania działający w średnim przypadku w czasie liniowo-logarytmicznym. Algorytm jest oparty na metodzie dziel i zwyciężaj. Nie jest to algorytm stabilny ani wykazujący zachowanie naturalne, jednak ze względu na efektywność jest algorytmem bardzo popularnym.
Quicksort jest algorytmem rekurencyjnym, jego działanie można opisać następująco:
Wybór klucza osiowego może być dowolny, jednak powinien być jak najszybszy. W praktyce często stosuje się po prostu wybór pierwszego elementu.
Operacja przerzucania elementów powinna musi być zaimplementowana tak, aby wykonywała się w czasie liniowym. Przykładowo, może ona być zdefiniowana w następujący sposób:
Jak już wspomniano, operacja przenoszenia elementów odbywa się w czasie liniowym. O złożoności algorytmu decyduje więc to, ile nastąpi rekurencyjnych wywołań funkcji. W przypadku optymistycznym tablica będzie dzielona na pół. Wówczas głębokość drzewa wywołań zależy logarytmicznie od liczby danych wejściowych, czyli optymistyczna złożoność czasowa algorytmu jest rzędu O(n logn). Możemy wykazać, że taki sam rząd złożoności wystąpi w przypadku średnim (dowód jest dostępny w książkach podanych w bibliografii).
Przypadek pesymistyczny występuje wtedy, gdy klucz osiowy za każdym razem znajdzie się na brzegu tabeli. Wówczas przy każdym kolejnym wywołaniu liczba elementów do posortowania jest tylko o 1 mniejsza, zatem funkcja zostanie wywołana n razy. Pesymistyczna złożoność czasowa wynosi zatem O(n2).
Przeanalizujmy złożoność pamięciową algorytmu. Sortowanie szybkie nie potrzebuje co prawda dodatkowej pamięci na przechowywanie sortowanych danych, wymaga jednak pamięci potrzebnej na obsługę rekurencyjnych wywołań funkcji. Rozmiar tej pamięci (podobnie jak czas wykonania) będzie zależał od głębokości drzewa wywołań. Złożoność pamięciowa wynosi więc O(logn) w przypadku średnim i O(n) w przypadku pesymistycznym. Nie jest to zatem algorytm sortujący w miejscu.
Zastanówmy się, kiedy może wystąpić przypadek pesymistyczny. Jeśli jako klucz osiowy obieramy pierwszy (lub ostatni) elementu z tablicy, to najgorszy przypadek wystąpi wtedy, gdy tablica jest już posortowana. Widzimy więc, że algorytm zachowuje się w sposób bardzo nienaturalny.
Niedoskonałości algorytmu można nieco poprawić stosując następujące techniki:
Przykładowa implementacja algorytmu w języku C wygląda następująco:
void quicksort(int* tab, int poczatek, int n) { if (n > 1) { int liczba_mniejszych = 0; int liczba_wiekszych = 0; int koniec = poczatek + n; int t; // Zmienna tymczasowa // Przeniesienie elementow wokol klucza osiowego for (int i = (poczatek + 1); i < koniec; ++i) { if (tab[i] < tab[poczatek]) { if (liczba_wiekszych > 0) { // Przeniesienie elementu mniejszego od klucza osiowego // przed elementy wieksze od klucza osiowego t = tab[poczatek+liczba_mniejszych+1]; tab[poczatek+liczba_mniejszych+1] = tab[i]; tab[i] = t; } ++liczba_mniejszych; } else { ++liczba_wiekszych; } } // Wstawienie klucza osiowego na wlasciwe miejsce t = tab[poczatek+liczba_mniejszych]; tab[poczatek+liczba_mniejszych] = tab[poczatek]; tab[poczatek] = t; // Wywołanie rekurencyjne quicksort(tab, poczatek, liczba_mniejszych); quicksort(tab, koniec-liczba_wiekszych, liczba_wiekszych); } } // Przykladowe uzycie funkcji int main() { int tab[] = {3, 7, 5, 1, 5, 8, 4, 2}; quicksort(tab, 0, 8); return 0; }
Dodano: 5 stycznia 2018 18:56, ostatnia edycja: 13 lutego 2019 16:40.
Algorytm Dijkstry – algorytm służący do wyznaczania najkrótszych ścieżek w grafie. Wyznacza najkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka (zwanego wierzchołkiem źródłowym) do pozostałych wierzchołków. Algorytm wymaga, aby wagi krawędzi grafu nie były ujemne. Autorem algorytmu jest holenderski naukowiec Edsger Dijkstra.
Algorytm realizuje podejście zachłanne. W każdej iteracji wybierany jest ten spośród nieodwiedzonych wierzchołków, do którego można dotrzeć najmniejszym kosztem. Po wyznaczeniu ścieżki do konkretnego wierzchołka nie zostanie ona zmodyfikowana w trakcie wykonywania dalszej części algorytmu.
Programowanie dynamiczne – technika projektowania algorytmów polegająca na rozwiązywaniu podproblemów i zapamiętywaniu ich wyników. W technice tej, podobnie jak w metodzie dziel i zwyciężaj, problem dzielony jest na mniejsze podproblemy. Wyniki rozwiązywania podproblemów są jednak zapisywane w tabeli, dzięki czemu w przypadku natrafienia na ten sam podproblem nie trzeba go ponownie rozwiązywać.
Wykorzystując programowanie dynamiczne można zastosować metodę zstępującą z zapamiętywaniem lub metodę wstępującą.
Matroid – struktura matematyczna składająca się z niepustego zbioru elementów E i takiej rodziny jego podzbiorów I, że spełnione są następujące warunki:
Drugi warunek, zwany własnością wymiany, formalnie może być zapisany jako:
$$⋀↙{A,B∊I}↙{ |A|>|B| }⋁↙{t∊(A-B)} B∪\{t\} ∈ I$$Co istotne, rodzina zbiorów I nie musi zawierać wszystkich możliwych podzbiorów zbioru E. Ważne tylko, aby była spełniona własność wymiany. Przykładowo, dla E={a,b,c,d} prawidłową rodziną I, może być zarówno { {a,b}, {b,c}, {a}, {b}, {c}, ∅}, jak i { {a}, {b}, {c}, {d}, ∅}. Trywialnym przypadkiem poprawnego matroidu jest taki, w którym rodzina I zawiera jedynie zbiór pusty.